Zadání 3. série 14. ročníku

Termín odelslání: 15.března 1999

Adresa:14

Kapitola třetí: Plán

Po šťastném překonání CHKO Horká poušť se naše pětičlenná družina dostala do Ledové Oblasti. Cílem výpravy je Plán . Postupovali jsme po Ledové Magistrále , která vedla přímo k Plánu . Vedl nás Xof, náš průvodce. Za ním v zamyšlení nad nějakým příkladem postupoval princ Davídek. Já s kouzelníkem jsme diskutovali o nějakém „velmi důležitém“ problému. Poslední poskakoval Gil, náš maskot, naše brzda, naše neštěstí, naše pohroma, ... a náš hudebník.

„Já už nemůžu,“ začal stávkovat Gil a sedl si na patník.

Patníky na Ledové Magistrále jsou ledové krychle o hraně půl sáhu, které jsou rozmístěny po pravé straně cesty každých 16 sáhů. Magistrála je dlouhá přesně 16383 sáhů. Patníky byly vyrobeny přetavením ADÉLEK (armádní dělová ékologická ledová koule). ADÉLKa měla průměr desetinu sáhu. V současné době jsou všechny ADÉLKy používány k podobným mírovým účelům.

Úloha č. 1:

( pro žáky 6. třídy)

Kolik ADÉLEK bylo třeba k výstavbě patníků kolem Ledové Magistrály ?

„Gile, nezdržuj,“ pokusil se ho napomenout sličný princ.

„Schválně, jestli bys dokázal tenhle patník rozdělit na 30 menších krychliček.“

Davídek se na chvilku zamyslel. „Jasně. A nezamlouvej to, prosím.“

„A co na 24?“

Davídek chvilku přemýšlel. Pak vytáhl papír a tužku a začal něco kreslit.

Úloha č. 2:

( pro žáky 6. a 7. tříd)

Jde rozdělit krychli na 30 menších? Jde rozdělit krychli na 24 menších? Zdůvodněte.

„Jdeme?“ pokusil jsem se do věci vložit já.

„Moment, jenom si něco ověřím,“ řekl omluvně princ. Bylo to beznadějné. Vyhlásil jsem odpočinek. Gil se spokojeně usmíval.

Přestávka byla dlouhá, a tak jsem z nudy pozoroval lední mravence(pozn. pod čarou: Mravenec lední vypadá úplně stejně jako mravenec lesní, akorát je celý bílý, aby byl na sněhu dobře maskován a nestal se snadnou potravou ledním (taktéž bílým) vránám.), kteří si udělali mraveniště v patníku. Východ z mraveniště byl uprostřed svislé stěny přivrácené k Ledové Magistrále . Mravenčí stezka začínala na druhé straně patníku uprostřed spodní hrany krychle (viz obrázek).

Úloha č. 3:

Jaká je pro lední mravence nejkratší cesta od východu z mraveniště k začátku mravenčí stezky? A kolik tato cesta měří?

Čekání se prodlužovalo, a dokonce i Gil se začal nudit. Stoupl si na patník a rozhlédl se. Všiml si, že patníky na Ledové Magistrále jsou očíslovány a směrem, kterým jsme se ubírali, čísla rostla. Gil osobně stál na patníku číslo 21. Viditelnost byla vcelku dobrá, takže viděl a rozeznal čísla na předchozích deseti patnících i na následujících deseti patnících. Viděl tedy 21 po sobě jdoucích čísel.

„Jé, vidím sedm prvočísel,“ zaradoval se Gil.

„A víc jich z žádného patníku až do konce Magistrály neuvidíš,“ prohlásil princ, aniž by zvedl oči od papíru.

Úloha č. 4:

Ukažte, že mezi 21 po sobě jdoucími čísly většími než 10 je maximálně 7 prvočísel.
Poznámka: Prvočíslo je kladné celé (tj. přirozené) číslo, které má právě dva dělitele, totiž sebe a jedničku (pozor: jednička není prvočíslo).

„To není možné,“ vykřikl Gil a rozběhl se k následujícímu patníku. Jakmile si ověřil, že opravdu víc jak sedm prvočísel nevidí, vrhl se k dalšímu patníku. Výprava se tedy dala zase do pohybu.

Tempo nasazené Gilem bylo dosti vysoké, i když se Gil u každého patníku zastavil, vylezl na něj, spočítal prvočísla a seskočil.

Tím pádem jsme zbytek Ledové Magistrály prošli do setmění téhož dne. Gil byl vytrvalý, ale nyní sípal, kašlal a nemohl popadnout dech. Zdálo se, že začíná být nemocný.

„Kouzelníku, pomoz mu,“ poprosil jsem kouzelníka Demagoga.

Beze slova přikývl. Čekal jsem velké mocné kouzlo se spoustou blesků a kouře, jak to tak kouzelníci dělávají. Místo toho kouzelník řekl jen: „Gile, zahraj něco.“

Jako by mě někdo praštil kladivem. Tuhle větu bych od někoho z naší výpravy nečekal. Od Demagoga už vůbec ne. Ještě překvapivější však bylo, že se Gil přestal třást, chopil se své kytary, a jako by mu nikdy nic nebylo, začal na ni brnkat.

Kytara měla 6 strun a Gil na ni brnkal shora dolů. Někdy nějakou strunu přeskočil, ale nikdy ne dvě nebo více po sobě následujících. (Mohl přeskočit i tu první.)

Úloha č. 5:

Kolik různých brnků mohla Gilova kytara vydat při tomto způsobu hraní?
Poznámka: Brnkem se rozumí jedno brnknutí shora dolů přes všechny struny s případným vynecháním některých z nich.

„Jé, to musím vyzkoušet,“ zajásal Gil nad zadáním páté úlohy a začal zkoušet všechny možnosti. Po nemoci již nebylo ani stopy.

Nechali jsme Gila hrát a zabývali jsme se tím, jak se dostat k Plánu . Plán byl totiž velmi drahocenný a nebylo divu, že byl uzavřen ve velkém iglú zabezpečeném několikerými zámky.

První zámek byl číselný. Na přední straně zámku se dal nastavit tříciferný kód. Zámek měl tu nevýhodu, že se dal vyzkoušet pouze desetkrát a pak se načisto zamkl. Ale na druhou stranu měl tu výhodu, že po každém pokusu oznámil: „Moc,“ pokud byl kód větší, popřípadě: „Málo,“ pokud byl menší než skutečný kód. Pokud šlo o správný kód, zámek se prostě otevřel.

Úloha č. 6:

Jak bys postupoval, kdybys chtěl zámek otevřít ty?
Poznámka: V případě, že neexistuje způsob, který zajistí odemčení, zdůvodněte proč.

Druhý zámek byl zajímavý tím, že měl u sebe i tři klíče (červený, zelený a modrý). Zámek byl zamčený na šest západů a na šest východů. Červený klíč odmykal zámek o pět západů a tři východy. Zelený klíč odmykal o tři západy a sedm východů. Modrý klíč odmykal o jeden západ a čtyři východy. Je jasné, že každým klíčem lze zamykat, a to o stejný počet západů i východů, jako když s ním odmykáme.

Úloha č. 7:

Jak máme postupovat, když chceme zámek odemknout? Zámek je odemknutý, pokud je „zamčen“ na 0 západů a 0 východů.
Poznámka: V případě, že je to nemožné, zdůvodněte proč.
Poznámka: Počet západů ani východů nemůže být nikdy záporný - klíčem pak nejde otočit. Už jste někdy viděli zámek zamčený na -1 západ?

Ocitli jsme se v místnosti s plánem. Zatím šlo vše hladce.

„To zde minulý rok nebylo,“ prohlásil Xof, a ukázal na zvláštní velmi moderní zařízení.

Obával jsem se, že je to nové zabezpečovací zařízení, a požádal jsem sličného prince, aby to prozkoumal. Xof mezitím prozkoumával přiložený návod, který zde zřejmě nechali ti, kdož chtěli Plán zabezpečit. (Což od nich nebylo moc prozřetelné.)

Vypadalo to jako krabička od mýdla s patnácti diodami typu LED (pozn. pod čarou: LED dioda (světLo vypoušťEjící dioDa) -- svítící dioda, někdy též zvaná » ledka«. Poslední výkřik ledovooblastní mikroelektroniky.) a se třemi tlačítky.

„Po zmáčknutí tlačítka »naopak« zhasnou ty, co svítily, a ty, co nesvítily, se rozsvítí,“ hlásil princ.

„Tlačítko »bezšest« slouží ke zhasnutí šesti ledek,“ přidal se Xof.

„Po zmáčknutí tlačítka »dvakrát« bude svítit dvakrát více ledek než před zmáčknutím,“ trumfoval princ.

„Když má být výsledek mimo rozsah 0 -- 15, nic se nestane, “ nedal se Xof.

„A jak se vypíná ochrana Plánu ?“ zeptal jsem se.

„Pro vypnutí zabezpečení zhasněte všechny LED diody,“ citoval Xof.

„Teď jedna svítí,“ konstatoval zklamaně Davídek.

Úloha č. 8:

Jak má sličný princ postupovat, aby toto moderní poplašné zařízení vypnul?
Poznámka: V případě, že je to nemožné, zdůvodněte proč.

Xof dál se zájmem listoval v návodu k použití bezpečnostního zařízení: „V případě neoprávněného vniknutí se celá místnost zaplní vodou, která okamžitě zamrzne.“

Davídek se velmi snažil zařízení vypnout a snad by se mu to i podařilo, nebýt toho, že Gila přestalo bavit venku hrát na kytaru a přišel za námi.

„Jééé, hurá, Plán , našel jsem Plán ! Já ho ponesu, že můžu?“ řekl a dříve, než jsme cokoli stačili podniknout, vzal Plán a vesele s ním poskakoval k východu.

V tu chvíli mi přejel mráz po zádech ...