Zadání 1. série 14. ročníku

Termín odelslání: 7. prosince 1998

Adresa:14

Kapitola první: Ti, Kdož Jdou Pro Plán

Rozhlížel jsem se po krajině. ,,Bude bouřka, prohlásil kdosi z naší nevelké družiny. Ostatní sebou trhli a podívali se na oblohu. Všude se líně převalovaly cirry. Na západě nepatrně přecházely v cirrostraty.

,,Bouřka?“ řekl nevěřícně sličný princ.

Až do této chvíle byl zabrán do příkladu, který si sám vymyslel. Mezi číslice letopočtu 1998 (a případně i před jedničku) vkládal znaménka +, -, \times, : a \sqrt{} a závorky tak, aby mu vyšly všechny celočíselné výsledky od jedničky do desítky.

Úloha č. 1:

(pouze pro žáky 6. ročníku)

Dokážete jako princ pomocí povolených početních operací z čísel $1, 9, 9, 8$, tak jak jdou po sobě, získat celočíselné výsledky 1 až 10? Pro názornost

• kdyby chtěl princ výsledek 26: (-1+\sqrt{9})\times9+8=(-1+3)\times9+8=26.
  Poznámka: Nezapomeňte, že násobení má přednost před sčítáním, např.: 1 + 9 \times 9 + 8 = 1 + 81 + 8 = 90.

,,Bouřka?“ znovu udiveně opakoval. Byl z naší družiny nejméně zkušený. ,,To mi dříve vousy narostou po břicho, to dříve uvidíme koně létat, spíše slon projde klíčovou dírkou, aniž by ji poškodil, než že by dneska spadla jenom jediná kapka. Náš průvodce, překladatel, šerpa a nosič v jedné osobě, Xof, vytušil, že tato zastávka bude trvat delší dobu, než se původně zdálo, a položil náš batoh na zem. Očividně se mu ulehčilo. Batoh totiž obsahoval spoustu potřebných věcí. Stan pro pět osob. Jídlo pro pět osob. Pití pro pět osob. Náhradní ponožky pro pět osob. Kartáčky na zuby pro ..., ehm, ... zkrátka, pro valnou část z nás.

Mimo tyto důležité věci měl Xof velkou zásobu čokoládových výrobků. Bohužel, v těchto ohledech jsou šerpovské zákony dosti striktní. Posuďte sami: na začátku každé cesty musí mít šerpa přesně sedm čokolád. Z toho musí být pět mléčných, šest oříškových a čtyři musí být s rozinkami. Xof má (celkem pochopitelně) nejraději mléčné čokolády s oříšky a s rozinkami.

Úloha č. 2:

(pouze pro žáky 6. a 7. ročníku)

Xof svých oblíbených čokolád vzal co nejvíce. Kolik to bylo?
Poznámka: Vlastnosti čokolád lze libovolně kombinovat, tzn. existuje např. čokoláda oříšková mléčná (bez rozinek), čokoláda rozinková (bez oříšků, bez mléka).

Mezitím princ Davídek pokračoval ve svém monologu: ,,Jak může být někdo tak slepý a mít tu drzost tvrdit, že z takovýchhle mráčků může byť jen kápnout, natož aby z nich byla bouřka. Jsi naivní.

Xof urychleně začal stavět stan, abychom bouřku ve zdraví přečkali.

Tento stan je zvláštní konstrukce. K jeho správnému uchycení je třeba zapíchnout čtyři kolíky (Xofem důvěrně nazývané Dolík, Okolík, Sokolík a Půlkolík) do písku tak, aby Půlkolík byl přesně mezi Dolíkem a Sokolíkem, aby spojnice Okolíku a Sokolíku od Dolíku byla stejně vzdálená jako Okolík od Půlkolíku, a to přesně pět stop, a aby Okolík od Sokolíku byl vzdálen stop šest.

Úloha č. 3:

Dokázali byste (pomocí kružítka, pravítka s měřítkem), nalézt přesnou vzájemnou polohu Dolíku, Okolíku, Sokolíku a Půlkolíku?

,,Stejně jako voda nebude nikdy hořet a stejně jako nepodělím všechny krychle Šalamounova stolu rovným dílem mezi tři z vás, stejně tak teď nebude bouřka. Slyšíš?“ Poslední slovo však zaniklo v ohlušujícím hromu, který uhodil zhruba 5 mil na západ.

Abyste rozuměli: Šalamounův stůl je kvádr složený ze samých stejně velkých krychliček. Nejsou známy jeho přesné rozměry, ale ví se, že široký je o 5 krychliček více než vysoký. Délka je o 2 krychličky menší než výška. Když jsem říkal, že Šalamounův stůl je kvádr, neměl jsem tak úplně pravdu: oproti kvádru totiž v každém rohu jedna krychlička chybí (celkem tedy schází 8 krychliček).

Úloha č. 4:

Jak si byl princ tak jistý, že by tři z nás nepodělil rovným dílem? Vždyť přesné rozměry stolu nejsou známy.

Kouzelník, zvaný Demagog, ke kterému byl celý ten lament adresován, pouze pokrčil rameny a vstoupil do právě postaveného stanu. Xof byl již uvnitř. Jelikož začínalo vydatně pršet, vešel jsem také.

Davídek ještě chvíli nevěřícně a zmateně koukal na čistou oblohu, ze které již dosti hustě pršelo. Sem tam byl vidět blesk a po chvíli i slyšet hrom. Davídek k nám do stanu vešel jako poslední.

Poslední? Jak to poslední? Přece je nás pět! Na koho jsem zapomněl? Aha, už vím. Poslední člen družiny je Gil. On je to v podstatě hodný hoch, trochu pomalejší v myšlení, ...

Také umí hrát na kytaru. Šest akordů: A, C, D, E, F, G. Ten poslední je jeho nejoblíbenější. Když jsem ho jednou pozoroval, zjistil jsem, že nikdy nezahraje stejný akord více než dvakrát po sobě, avšak maximálně po čtyřech akordech se začne opakovat a hraje to samé do kolečka.

Úloha č. 5:

Kolik různých ,,melodií bych od Gila mohl slyšet?
Poznámka: ,,Melodií je zde myšlena posloupnost akordů, které by Gil produkoval. ,,Melodie jsou stejné, i když je jedna posunutím druhé. Tj. AACCAACCAA... je stejná jako CAACCAACCAA...

Vlastně ani nechápu, jak se do naší družiny mohl dostat. Zřejmě má nějakou protekci u autora tohoto příběhu, ale s tím já nechci mít nic společného. Jeho existenci však zamlčovat nemohu. Dobrá tedy: Gil se přiřítil do stanu jako poslední (těsně po princi Davídkovi) a zděšeně se nám snažil vysvětlit, že venku je bouřka.

Když Xof viděl, že Gil je na tom dosti špatně, nasypal mu do klobouku oříšky v čokoládě. Bylo jich 98 v bílé čokoládě a 51 v čokoládě hnědé. Gil si vždycky vytáhl dva oříšky, a když byly oba bílé, jeden bílý snědl a druhý vrátil do klobouku. Když vytáhl jeden bílý a jeden hnědý, snědl jeden bílý a druhý vrátil. Když vytáhl oba hnědé, vyměnil je s Xofem za jeden bílý a ten vrátil do klobouku.

Úloha č. 6:

(algoritmická úloha)

Je vidět, že Gil má raději oříšky v bílé čokoládě. Je možné, aby Gilovi zůstal oříšek v bílé čokoládě nakonec?

Když Gil dojedl i ten poslední oříšek, řekl jsem si, že je konečně ta správná chvíle promluvit o našem poslání.

,,Přátelé, Rada pro poznání tohoto světa (jejímž jsem jediným členem a předsedou) nás pověřila úkolem nadmíru důležitým...

,,Ještě jeden oříšek.

,,... důležitým úkolem, který ...

,,Poslední, fakt.

,,... který je velmi důležitý ...

,,A ještě jeden ...

,,Velmi důležitý ... cítil jsem, že se poněkud opakuji a můj projev není zrovna souvislý. Všichni členové družiny mě s napětím sledovali, pouze Gil seděl před Xofem a žebral o oříšky. Když začal slibovat, že mu za odměnu zahraje, a již se natahoval po kytaře, nevydržel jsem to a pokynul jsem Xofovi, aby mu dal celý sáček. Xof s lítostí poslechl.

,,Kde jsem to přestal?“

,,Důhehitým húholem, řekl Gil s pusou plnou oříšků v čokoládě. Nemějte mi za zlé, že jsem po něm hodil vražedný pohled.

,,Jo. Je důležitý a odpovědný. Slavnostní atmosféra porady byla pryč, takže jsem jen dodal: ,,Prostě máme dojít pro Plán.

Mezi členy družiny to zahučelo. Dokonce i Gil přestal žvýkat a přihlouple se usmívat. Teď pouze žvýkal.

Každý z nás věděl, co znamená Plán. Plán jsou papyrové svitky, které každý rok vznikají v ledové oblasti. Podle Plánu se má každý rok zorganizovat Velké Zakončení, které je opravdu velkolepým zakončením prožitého roku.

Plán je vlastně dlouhý seznam toho, co je třeba k Velkému Zakončení. Každá položka je pečlivě očíslována. Ty, které jsou důležité, jsou zakroužkované modře. Ty, které jsou životně důležité, jsou zakroužkované červeně. (Některé byly zakroužkovány modře i červeně.) Kupříkladu Loňský Plán měl 1998 položek (očíslovány byly čísly 0, 1, ..., 1997). Každá lichá položka byla důležitá a každá dělitelná sedmi byla důležitá životně.

Úloha č. 7:

Kolik položek v Loňském Plánu nebylo zakroužkováno vůbec?

Každý z nás věděl, co znamená dojít pro Plán . Minulý rok se jedna výprava pro Plán ztratila někde v Americe. Z druhé, která skončila někde ve Vysokých Tatrách, se vrátila domů jen polovina. Předminulý rok se dokonce nevrátila vůbec žádná výprava.

Dojít pro Plán znamená nasadit své životy. Návrat znamenal slávu a uznání. Pravda však je, že není mnoho těch, kteří vyšli pro Plán a jsou slavní a uznávaní.

,,Podařilo se nám to minule, proč by to nešlo letos?“ zkoušel jsem povzbudit své druhy.

Gil se rozplakal. Aby alespoň trošku zapomněl, vzal jsem čtyři hrací kostky.

,,Když ti padnou taková čísla, aby mezi nimi byla dvě taková, že jedno dělí druhé, vyhrál jsi. Jinak prohráváš.

,,Co to znamená dělí ?“ nedůvěřivě si prohlížel šestistěnky.

,,Číslo x dělí y, právě když existuje celé k, takové že x \cdot k = y, vysypal ze sebe Davídek.

Gil vypadal, že se znovu rozbrečí.

,,Prostě ti po dělení nezůstane žádný zbytek, snažil se princ napravit situaci.

To Gila uklidnilo. Vzal tedy kostky a hodil. Vyhrál. Hodil podruhé. Vyhrál. Očividně mu to zvedlo náladu. Když vyhrál asi po sedmnácté, přestalo ho bavit vyhrávat jen tak bezúčelně a chtěl po Xofovi, aby hráli o oříšky v čokoládě.

Úloha č. 8:

Jak je možné, že Gil pořád vyhrával?

Princ Davídek se však opět vrátil k tématu:

,,Je to nutné?“

,,Naprosto.

Sličný princ se zakousl do své tužky a vypadal, jako že přemýšlí.

,,Nemůže to udělat někdo jiný?“

,,Vyloučeno.

Chvíle ticha.

,,Odměna?“

Ještě delší chvíle ticha.

,,Neptám se proto, že bych na tom chtěl zbohatnout, prostě jsem si myslel, že bych to měl vědět předem.

,,Tak teď to víš.

,,Aha, zakousl se Davídek opět do tužky. ,,Dobrá, jdu do toho, řekl po chvíli.

,,Já jsem taky pro, přidal se Xof.

Demagog mírně přikývl.

Gil zapomněl, o čem se bavíme.

Považoval jsem tedy poradu za ukončenou a všechny její body (tedy ten jeden) za schválené. Od této chvíle jsme byli Ti, Kdož Jdou Pro Plán.