Zadání 3. série 13. ročníku
Termín odelslání: 23. února 1998
Adresa:13
Jak už je tak údělem cestovatelů, i Emila a Holuba brzy opět začalo jakési vnitřní puzení ponoukat ke změně místa. Většinou putovali na vlastní pěst, ale řekli si, že tentokrát vyzkouší nabídku jedné cestovní kanceláře a vydají se za poznáním „jiného světa“, jak reklamní letáky slibovaly. Trošku je překvapilo, že jsou jedinými účastníky zájezdu, ale na druhou stranu to zaručovalo dostatek dobrodružství. Ráno si tedy sbalili jen základní potřeby a vydali se do přístavu. Nastoupili podle pokynů cestovní kanceláře do malé lodi a byli zvědaví, kam že to vlastně jedou. Kapitán lodi jim na jejich dotaz odpověděl, že pořádně neví a mapu nevlastní, jen kompas, ale pokud nenastane bouře či jiné nepředvídatelné okolnosti, pojedou přesně devět hodin. Prý už to má vyzkoušené. Během řeči se podíval na své levé zápěstí a místo hodinek uviděl jen bílý neopálený pruh. Hodinky už vlastnil nějaký přístavní zloděj. Ale bez určení času se nemohl zájezd uskutečnit. Kapitán jako ostřílený mořský vlk ještě na poslední chvíli zaběhl na blízké tržiště. Podle zákona schválnosti zrovna nikde žádné hodinky neměli. Ale narazil alespoň na přesýpací hodiny. Měli dva druhy. Na odměření 4 hodin a 7 hodin. Zoufalý kapitán koupil oboje a běžel zpátky na loď oznámit svůj chabý úlovek. Holub se chvíli na zasmušilého kapitána díval a pravil: „Můžeme vyrazit, kapitáne. A pojedeme přesně devět hodin.“ Kapitán chvíli nechápavě mžoural, ale když mu Holub vysvětlil svůj postup, jak pomocí oněch dvou (čtyř a sedmihodinových) přesýpacích hodin odměří čas devět hodin, nic proti vyplutí nenamítal.
Úloha č. 1:
(pouze pro žáky 6. tříd)
Jak na lodi odměřili 9 hodin? Na přesýpacích hodinách není žádná ryska určující polovinu času, ani si netroufali nic odhadovat, nebo by mohli skončit v úplně jiné zemi.
Devět hodin na lodi je docela dlouhá doba. Ukázalo se, že kapitán není zas takový trouba, jak se zdálo na začátku, kdy si nechal ukradnout hodinky a nenapadlo ho, jak vše zvládnout s přesýpacími hodinami. Emila s Holubem překvapil dokonce některými matematickými hlavolamy a zajímavým vyprávěním ze svého života. Například načrtl na palubě čtyři velké kruhy a do nich deset malých, tak jak vidíte na obrázku. A ať prý do malých kroužků cestovatelé doplní čísla 1 až 10 tak, aby v každém ze čtyř velkých kruhů byl shodný součet všech čísel v malých kroužcích.
Úloha č. 2:
(pouze pro žáky 6. a 7. tříd)
Dokážete vyřešit kapitánův hlavolam? Každé z deseti čísel můžete použít právě jednou.
Když kapitán viděl, že má co do činění s opravdu bystrými chlapíky, požádal je o radu pro svého švagra, lékárníka. Ten potřebuje na laboratorních vahách odvážit podle potřeby hodnoty 1g, 2g, ... až 40g. Ale je tak velice roztržitý, že když potřebuje při vážení více závaží, určitě nějaké ztratí. Kapitán navrhoval, aby tedy používal redukovanou sadu, ne všech 40 závaží. Emil s Holubem se trochu zahloubali a navrhli řešení, při kterém bude lékárník pro zvážení potřebných hodnot potřebovat jen 4 závaží.
Úloha č. 3:
Jaká 4 závaží by si měl lékárník vybrat a jak s nimi potřebné hodnoty odváží? Nezapomeňte, že závaží lze pokládat na obě misky vah.
Až na občasnou kontrolu hodin a kompasu se nic zvláštního nedělo a kolem bylo jen moře a moře. Protože se blížil nový rok, Emil si hrál s novým letopočtem. Napsal si číslice 1998 po řadě za sebou a doplňoval mezi ně a popřípadě i před jedničku znaménka početních operací +, -, \cdot ,:, \sqrt{} a závorky. Rozhodl se, že takto získá výsledky 1 až 10, a opravdu, brzo měl pod sebou deset příkladů s požadovanými výsledky.
Úloha č. 4:
Dokážete i vy pomocí povolených početních operací z čísel 1,9,9,8 tak, jak jsou po sobě, získat výsledky 1 až 10? Pro názornost - kdyby chtěl Emil výsledek 26: (-1+\sqrt{9}) \cdot 9 + 8 = 26.
Holub, zatímco si Emil hrál, přemýšlel nad inzerátem v novinách, kterými se zatápělo v kuchyňských kamnech. Jedno království nabízelo odměnu za co nejlacinější a nejekologičtější řešení problému s drakem. Jednalo se o to, že drak si zvykl přistávat na náměstí. Byl už starý a neškodný, pouze při kolmém přistání občas někoho zalehl a taky pro neznalé turisty nebyl drak na náměstí moc velkou atrakcí, protože se ho spíše báli a prchali, tudíž nezanechali moc velké tržby. Jediné, co na draka platilo, byl oheň. Jenže jaksi nešlo zapálit celé náměstí, jednak z ekologických důvodů, taky kdo by pořád přikládal, a čím, a hlavně, kdo by to platil. A tak někoho napadlo, že na náměstí tvaru šachovnice 6 \times 6 stačí rozdělat oheň jen na některých čtvercích a drak, který při pohledu shora vypadal s roztaženými křídly jako kříž, viz obrázek, už nemá šanci přistát. Holub vymyslel velice dobré řešení a těšil se, jak ho po přistání zašle z nejbližší pošty na adresu uvedenou v inzerátu.
Úloha č. 5:
Kolik nejméně ohňů a jak musí být rozmístěno na náměstí tvaru šachovnice 6 \times 6, aby se drak nijak nevešel? Tvar draka i náměstí máte na obrázku, čtverečky mají shodnou velikost.
Konečně se dosypalo poslední zrnko písku v přesýpacích hodinách. Oba cestovatelé vylezli zvědavě na palubu, odkud podle kapitánových zkušeností už měla být vidět pevnina. Ať se dívali sebelépe, neviděli nic. Kapitán nedal najevo nejmenší známky zneklidnění. „Možná jsem tak úplně nehlídal kompas. No, jídla máme zatím dost, snad se nám podaří někde přistát.“ Emil s Holubem se na sebe významně podívali. Tak s touto cestovní kanceláří, pokud se ještě někdy vrátí, budou jezdit častěji. Ta poskytuje pestřejší zážitky, než by si jako zkušení cestovatelé dokázali sami vymyslet. Zalezli tedy do podpalubí a ještě vytáhli jednu úlohu, zatímco kapitán na palubě vyhlížel pevninu.
Úloha č. 6:
Máte za úkol přestěhovat n rodin (koho straší obecné řešení, nechť si za n dosadí 6 a 7).Rodina č.1 se má nastěhovat do bytu rodiny č.2, rodina č.2 do bytu rodiny č.3 atd., až rodina č.n do bytu rodiny č.1. Stěhování probíhá tak, že se vždy dvě rodiny vymění. Jednotlivá rodina se může stěhovat právě jednou denně, ale během dne může probíhat několik stěhování zároveň (např. rodina č.1 se vymění s rodinou č.2 a rodina č.5 se vymění s rodinou č.3). Kolik dnů je potřeba na přestěhování všech rodin?
Úlohu naši dva přátelé vyřešili rozhodně dříve, než kapitán objevil pevninu. Stál na palubě a začínal být nervózní. „My snad na tomto zájezdu nic neuvidíme, ale zato vyřešíme celou sbírku příkladů“, posteskl si Holub. Kapitán, který byl trénovaný pro nečekané situace, jim hned obratně poskytl jednu námořnickou úlohu.
Úloha č. 7:
Ze dvou ostrovů, např. A,B (kapitán už si nepamatoval jména) vyjely proti sobě stálou rychlostí dvě lodě - Argonaut (z ostrova A) a Barakuda (z ostrova B). Jely po přímce spojující oba ostrovy. Argonaut jel z ostrova A na ostrov B, ale Barakuda se v okamžiku setkání s Argonautem otočila a pokračovala svou rychlostí zpátky na ostrov B, ze kterého vyjela. Do přístavu na ostrově B dorazila o 2 hodiny dříve než Argonaut. Jak dlouho lodě pluly, než se poprvé setkaly, když víme, že Barakuda jela 2x větší rychlostí než Argonoaut? (Obrat lodi neznamenal časovou ztrátu.)
Bohužel, úloha byla vyřešena a všude kolem stále jen moře a moře. Cestovatelé se rozhodli se zásobami šetřit, a tak si dali jen kousek sýra. Sýr měl při pohledu shora tvar pravidelného osmiúhelníka vepsaného do kružnice o poloměru 10 cm. Byl 1cm vysoký. Emil odkrojil hranol s podstavou lichoběžníka, tak jak vidíte na obrázku.
Úloha č. 8:
Jaký objem sýra Emil odkrojil?
Sýr vyvolal v Emilovi nostalgické vzpomínky na jeho sbírku sýrových etiketek. Jestlipak se s ní ještě shledá? A zrovna si veze z cest spoustu nových exemplářů!
POZOR!!! Zvláštní soutěž!= Přispějte Emilovi do sbírky sýrových
nálepek! Řešitel, který spolu s řešením 3. série zašle nejvíce různých nálepek od sýrů, bude odměněn. Nálepky zůstanou majetkem organizátorů.