Zadání 2. série 13. ročníku

Termín odelslání: 5. ledna 1998

Adresa:13

Když se naši cestovatelé vylodili, zjistili, že venku je strašná zima. Naštěstí viděli hned blízko hotel, a tak k němu vyrazili. Po cestě Emil Holubovi vyprávěl, že v této zemi se určitě procvičí v matematice, neboť ta je zde považována za umění a „umělcům“ se zde daří lépe než ostatním. U hotelu se dověděli, že hotel nabízí lidem, kteří vyřeší jejich hádanku, slevu. Dokážete hádanku vyřešit taky?

Úloha č. 1:

(pouze pro žáky 6. tříd)

Kolik čtverců je na šachovnici 8x8?

Poté, co Emil hádanku vyřešil, se šli společně ubytovat. Byl už večer, a tak se hned po vybalení věcí uložili k spánku, ale protože cestování už měli „plné zuby“ (což nebylo tak hrozné, neboť oba trpěli parodontózou, a tak zubů měli dohromady jen sedm), rozhodli se, že ve městě nějakou dobu pobudou. Ráno se Emil probudil brzy, a protože věděl, že Holub si rád pospí, nechtěl ho vzbudit. Proto nerozsvítil. Oblékl si na sebe věci kromě ponožek. Nechtěl si totiž obléct ponožky, které by se k sobě nehodily. Ve skříňce měl pět párů červených hrubých ponožek, tři páry modrých tenkých a čtyři páry zelených tenkých podkolenek. Protože venku byla zima, chtěl si obléct buď hrubé ponožky a nebo tenké ponožky a podkolenky. V pokoji však byla tma a on nemohl rozpoznat ponožky podle hmatu (měl už na rukou rukavice), a tak chtěl vzít co nejmenší počet ponožek, aby měl jistotu, že se už bude moci podle svých požadavků obléci. (Ponožky nejsou smotány ve dvojicích.)

Úloha č. 2:

Kolik ponožek musí vzít, aby měl zaručeno, že mezi nimi bude červený pár, nebo modrý a zelený pár? (Předpokládáme, že levá a pravá ponožka jsou stejné).

Když se Emil vrátil z procházky, Holub se právě probouzel. Emil mu pověděl, co se mu přihodilo. Když šel kolem jednoho domu, všiml si, že jeho číslo popisné a číslo orientační tvořily zajímavou dvojici. Jejich součin byl totiž 1 000 000, ale žádné z nich neobsahovalo ve svém zápisu nulu. V tom ho Holub přerušil a řekl mu, která čísla to byla.

Úloha č. 3:

(pouze pro žáky 6. a 7. tříd)

Která čísla to byla? (Číslo popisné i orientační jsou čísla přirozená.)

Při rozhovoru se Holub oblékl a oba spolu vyrazili na další průzkum. Během procházky městem šli kolem zlatnictví. Chtěli jej obejít jako obvykle, protože ani jeden z nich si na šperky nijak nepotrpěl, když v tom si všimli velkého nápisu: Hledamaja Magicaja Geometraja. Ten je zaujal, a jelikož měli rádi geometrii, rozhodli se vstoupit. Tam je uvítal zlatník a řekl, že se jim odmění, pomohou-li mu ušetřit. Ukázal jim šperk, který vyrábí částečně ze zlata a ze stříbra. Chtěl poradit, zda má udělat zlaté půlměsíčky, nebo trojúhelník. (viz obrázek)

Poznámka: Obrázek je složen z rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka a půlkružnic se středy v jednotlivých stranách.

Úloha č. 4:

Kterou část šperku má zlatník udělat stříbrnou, aby ušetřil (zlato je dražší než stříbro)?

Když šli dál, všimli si, že lidé v tomhle městě mají kromě matematiky rádi také jiná umění. Minuli několik divadel, koncertních a výstavních síní (zajímavé bylo, že v těch síních byla každá věc vystavena dvakrát - jednou v normální poloze a podruhé obráceně, aby si ji lidé mohli dobře prohlédnout) a taky tři kina. Protože ve městě chodili lidé do kina velmi často, hrála všechna kina vždy nejnovější film - všechny ostatní už skoro každý viděl. Čím se lišila, to bylo vstupné. V prvním kině každý divák zaplatil 10 Kratarů, ve druhém 11, ale každý šestý měl vstup zdarma, a ve třetím 12, ale každý sedmý měl vstup zdarma a ještě vyhrál dalších 12 Kratarů. Potkali dvacetičlennou výpravu, která právě mířila do kina. Slyšeli, že mají pouze 190 Kratarů a nevěděli si rady, jak zajistit, aby jim peníze stačily.

Úloha č. 5:

Jak to mají udělat, aby měli jistotu, že jim peníze budou stačit? Najděte všechna řešení.

Jejich procházka podivuhodným městem však pokračovala. Přišli na náměstí, kde uviděli plánek města. Ihned si všimli, že město je zajímavě postaveno. Je v něm šest náměstí, každé z nich je spojeno přímými ulicemi se čtyřmi ostatními. Tyto ulice mají však pouze tři různé délky a nikde se nekřižují.

Úloha č. 6:

Nakreslete, jak mohou ulice vypadat.

Na jednom z náměstí je udivily tři velké tyče. Na první tyči bylo naskládáno šest různě velkých železných disků, na spodku byl největší disk a pak postupně podle velikosti až k nejmenšímu. Ostatní tyče byly prázdné. Ten, kdo by dokázal přenést všechny disky z první tyče na třetí tyč dříve než za hodinu, získal by odměnu 100 Kratarů. Při přenášení ale bylo zakázáno nosit více než jeden disk zároveň a také bylo zakázáno položit větší disk na menší. Normální člověk dokázal jeden disk z jedné tyče přemístit na libovolnou jinou za jednu minutu. Holub tvrdil, že je to pro ně hračka, naopak Emil tvrdil, že to nemůžou dokázat, obzvlášť nejsou-li trénovaní.

Úloha č. 7:

Můžou stihnout přenést všechny disky z první tyče na třetí do jedné hodiny za dodržení všech podmínek?

Pro případné účastníky akce bylo připraveno občerstvení - sud plný pomerančové šťávy. Sud měl uvnitř tvar válce o poloměru podstavy 25 cm a výška sudu byla 90 cm. Nádobu bylo třeba dopravit k občerstvovacímu stánku, ale k dispozici byla jen jakási dřevěná kárka o nosnosti 200 kg. Prázdný sud váží 5 kg.

Úloha č. 8:

Mohli občané přepravit bez problémů sud ke stánku, když 1 litr pomerančové šťávy váží 1,1 kg?