Zadání 1. série 13. ročníku

Termín odelslání: 17. listopadu 1997

Adresa:13

Na konci minulého ročníku jsme se rozloučili se slavnými cestovateli Emilem a Holubem. Bylo to v Austrálii těsně před jejich odjezdem z tohoto kontinentu.

Když se ráno probudili, cítili se oba velice odpočatě. Loď odplouvala až v poledne, a tak si bez větších problémů stihli sbalit všechny věci. Jenom Emilovi se nějak nedařilo a rozsypal kostky domina. Když se na ně díval, zjistil, že se shlukly tak, jak je vidět na obrázku:

Úloha č. 1:

(pouze pro žáky 6. tříd)

Jak byly rozloženy jednotlivé kostky domina? (Tlustou nebo barevnou čarou nakreslete okraje kostek domina.)

Když se sbalili, měli ještě chvíli čas, a tak zašli na svačinu do místní pizzerie. Prodávali zde dva druhy pizzy. Větší druh měl průměr 30 cm a menší druh měl průměr 20 cm. Holub si dal jednu větší pizzu a Emil si objednal dvě menší. Zaplatili oba stejně.

Úloha č. 2:

(pouze pro žáky 6. a 7. tříd)

Který z nich snědl více pizzy?

Našim cestovatelům už nezbývalo mnoho času, a proto se z pizzerie vydali přímo na loď. U lodi je přivítal kapitán Algebro. Kapitán Algebro byl znám tím, že všem cestujícím dává „algebrogram“ v jejich rodné řeči. (Algebrogram je rébus, k jehož vyřešení musíte dosadit za různá písmenka různé číslice, za stejná písmenka stejné číslice a za hvězdičku můžete dosadit libovolné číslice. Zároveň musí platit naznačené početní operace.) Bohužel Algebro nebyl zcela znalý jazyka českého, a tak místo pět psal pjet. Algebrogram, který dostali, vypadal:

$$	$$	$$	$$	P	J	E	T
$$	$$	$$	$$	\times	$$	P	J	E	T
$$	$$	$$	*	*	*	*	P
$$	$$	*	*	*	*	J
$$	*	*	*	*	E
*	*	*	*	T	$$
*	*	*	*	*	*	*	*

Úloha č. 3:

Vyřešte algebrogram. Nenechte se zmást pravopisnou chybou kapitána Algebra. Za stejná písmenka dosaďte stejné číslice, za různá písmenka dosaďte různé číslice a za hvězdičky dosaďte číslice. Nezapomeňte, že naznačené násobení musí platit!

Společně s Emilem a Holubem nastoupili na loď i nějací podivní lidé. Když už konečně vypluli na moře, zjistili, že tito podivní lidé jsou agenti 001, 002, 003, 004, 005, 006, 007 a jejich velitel. Agenti se i na lodi cvičili vzájemným sledováním. Jednou jim velitel řekl, že agent 001 bude sledovat agenta, který sleduje agenta 002, agent 002 bude sledovat agenta, který sleduje agenta 003, a tak dále, až agent 007 bude sledovat agenta, který sleduje agenta 001.

Úloha č. 4a:

Určete, který agent bude sledovat kterého. Pokud nejde určit, který agent má kterého agenta sledovat, vysvětlete, proč to nejde.

Holub sledoval všechny agenty. A protože se mu to zalíbilo, rozhodl se požádat velitele agentů, jestli by nemohl cvičit společně s nimi. Velitel souhlasil. Když měl nastoupit i Holub, řekl, že agent 001 bude sledovat agenta, který sleduje Holuba. Agent 002 bude sledovat agenta, který sleduje agenta 001, agent 003 bude sledovat agenta, který sleduje agenta 002, a tak dále, až Holub bude sledovat agenta, který sleduje agenta 007.

Úloha č. 4b:

Určete, který agent bude sledovat kterého. Pokud nejde určit, který agent má kterého agenta sledovat, vysvětlete, proč to nejde.
Pozor, úloha má dvě části!

Jiný z cestujících s sebou převážel 19 zvířátek. Tato zvířátka byla zvláštní tím, že pokud byla uzavřena v jiné než čtvercové ohradě (nezáleželo na velikosti), byla z toho hodně nervózní. Kapitán onomu pasažérovi vyčlenil na palubě část velkou 32 \times 32 loktů. Jenomže ať se snažil jak chtěl, nemohl tuto velkou ohradu rozdělit na 19 menších tak, aby všechny ohrady byly větší než 1 \times 1 loket, byly čtvercové a žádná část velké ohrady nezůstala nevyužita.

Když už to trvalo skoro týden, a taky proto, že Holub neustále trénoval s agenty, zamyslel se Emil nad tím, jak onomu cestujícímu pomoci. A ani mu to netrvalo moc dlouho a podařilo se mu velkou ohradu rozdělit na 19 menších.

Úloha č. 5:

Ukažte alespoň jeden způsob, jak by Emil mohl velkou ohradu rozdělit.
Nezapomeňte, že celá ohrada musí být využita a že ohrady nemusí být stejně velké.

Jenomže Emil se již začínal nudit, a tak se rozhodl, že prozkoumá loď. Sešel do podpalubí a obdivoval se tam všem možným strojům. Zapomněl sledovat cestu, a tak se stalo, že se ztratil. Pokusil se ještě chvilku jen tak chodit, že se mu snad podaří dojít k východu, ale když už se po páté vrátil na stejné místo, usoudil, že by se měl nad další cestou zamyslet.

Úloha č. 6:

(algoritmická)

Poraďte Emilovi, jak má postupovat, aby určitě došel k východu a nemusel pořád bloudit. Jinými slovy řečeno, která pravidla je potřeba dodržovat, abyste prošli libovolné bludiště? Pokud určíte jen část pravidel, pokuste se nakreslit bludiště, pro které vaše pravidla nestačí.

Bloudícího Emila nakonec zachránili plavčíci, kteří se přeci jenom na lodi orientovali lépe. Od té doby už Emil do podpalubí radši nikdy nešel a sledoval delfíny. Delfínů bylo všude mnoho. Všichni skákali po drahách připomínající půlkružnice. Někteří delfíni skákali větší obloučky, jiní menší, a další skákali co oblouček, to jiná velikost. Emil se zamyslel nad tím, jakou dráhu delfíni uplavou při různě velkých obloučcích. (Dráhu, kterou delfíni uplavou, můžeme určit tak, že si zakreslíme obloučky na papír a přiložíme provázek. Ten pak napneme a změříme -- toto je ale značně nepřesné)

Úloha č. 7:

Který z delfínů uplave mezi bójkami větší dráhu? Ten, který dělá větší obloučky, nebo ten, který dělá menší obloučky? Nezapomeňte zdůvodnit.

Když už jim do přístavu chyběly jenom tři hodiny cesty (plavali rychlostí 10 námořních mil za hodinu), všiml si Emil jednoho zvláštního delfína. Tento delfín neustále plul mezi lodí a přístavem. (To znamená, že když doplul do přístavu, otočil se a plaval směrem k lodi; když doplul k lodi, otočil se a plaval do přístavu.) Delfín začal plavat od lodi a jeho rychlost plavání byla 15 námořních mil za hodinu.

Úloha č. 8:

(fyzikální)

Kolik námořních mil delfín uplaval, než loď doplula do přístavu?