Zadání 4. série 12. ročníku

Termín odelslání: 2. června 1997

Adresa:12

Konečně Emil a Holub dorazili do vytoužené Austrálie. Mýdla i peněz měli dostatek, a tak se rozhodli, že budou odpočívat a poznávat zvyky a přírodu nejmenšího kontinentu. Holub, který měl nejen díky jménu k biologii blíž, věděl, že v Austrálii žije spousta živočichů, kteří na jiných světadílech nežijí, a tak navrhl návštěvu přírodního parku (něco jako naše zoologická zahrada). Tam by totiž měli vše pěkně pohromadě. Přece jen už na cestě byli dlouho a pronásledovat zvěř v buši kvůli exkluzivním fotografiím by bylo zbytečným vysilováním. Pomocí slovníku a posunků se doptali na cestu a konečně stanuli před vstupní branou.

Tady je zaujal zvláštní vchod pro školáky. Na bráně byla jakási magnetická mapa a k dispozici magnety s čísly 1-9. Jeden dobrý člověk jim přeložil komentář, který vysvětloval, že

Kdo dal správné magnety na správná místa v mapě, tomu se brána otevřela a mohl jít bez placení.

Úloha č. 1:

(pouze pro žáky 6. tříd)

Jak je třeba doplnit čísla 1-9 do obrazce, aby všechny naznačené vztahy platily? (Každé z těchto čísel má být použito právě jednou.)

Emil s Holubem však už bohužel nebyli školáci, a tak museli zaplatit, přestože řešení úlohy věděli. Při koupi lístků si jich povšimla pokladní, a protože většinu času neměla co dělat a četla noviny, hned poznala slavné cestovatele. A tak se stalo, že Emila a Holuba oficiálně přijal tamní ředitel. Nadšeně jim líčil historii a zvláštnosti svého přírodního parku. Cestovatelé se dozvěděli například, že kromě výběhů se zvířaty je zde hodně trávníků s dětskými hřišti, pískovišti, stánky s občerstvením, pouťovými atrakcemi apod. Ředitel jim ukázal i plánek. Park byl čtverec o délce strany 960 m. Každá jeho strana byla rozdělena na tři shodné úseky. Vyšrafovaná plocha značila prostor pro výběhy, bílá prostor pro odpočinek. Viz obr. 5.

obr. 5

Úloha č. 2:

(pouze pro žáky 6. a 7. tříd)

Kolikrát větší byla plocha pro zvířata než rekreační prostory?

Další zvláštností byl plot kolem jedné strany parku. Na počest toho, že park byl dobudován v roce 1985, byl tvořen 1985 deskami.

Nějaký matematický vandal či génius však na každou desku načmáral jednu číslici. Možná to byla náhoda, možná záměr - dvojice sousedních čísel vždy tvořily dvojciferné číslo, které bylo násobkem buď čísla 17, nebo 23. Z okna kanceláře bylo vidět právě konec plotu a jen na poslední desce krátkozraký Emil dokázal přečíst číslici. Byla to sedmička. Protože ředitel zrovna zaujatému Holubovi líčil rozmnožování ptakopysků v umělých líhních, což nebiologa Emila zas tak dalece nezajímalo, zamyslel se a brzy věděl, která číslice je na první desce plotu. Ředitel mu jeho zjištění jen překvapeně odsouhlasil.

Úloha č. 3:

Dokážete i vy zjistit číslici na začátku pásu, když víte jen to, co věděl Emil? Jak?

Ředitel se také pochlubil svým nápadem, jak lépe zajistit bezpečnost 4 krmičů dravých šelem. Aby měl zajištěno, že vždy budou v pavilónu aspoň tři pracovníci (kdyby se něco stalo), dal na dveře pavilónu vyrobit zámky a rozdal klíče tak, aby žádní dva krmiči pavilón otevřít nemohli, ale libovolní tři už ano.

Úloha č. 4:

Kolik zámků je na pavilónu dravých šelem a jak ředitel rozdělil klíče?

Ale naši cestovatelé nepřišli kvůli řediteli, nýbrž kvůli zvířatům. A tak vyrazili na obchůzku. Zaujala je spousta věcí. Třeba tabulka u výběhu s již zmiňovanými ptakopysky. Název živočicha tam byl napsán trochu podivně do čtverce. Na řádění vandalů tady ukazovalo to, že jedno Y bylo odloupnuto.

P	T	A	K	O
T	A	K	O	P
A	K	O	P	Y
K	O	P	$$	S
O	P	Y	S	K

Úloha č. 5:

Kolika různými způsoby si návštěvníci mohli z poškozené tabulky přečíst správný a úplný název živočicha, čteme-li sousední políčka buď zleva doprava, nebo shora dolů?

Protože cestovatelé chtěli přivézt známým nějaký suvenýr, zašli do příslušného krámku. Tam se s nimi dal do řeči prodavač. Zjistili, že ze všech suvenýrů jdou nejvíc na odbyt vejce ptakopysků, buď bílá, nebo hnědá forma. Prodavač prý ráno přinesl 6 košů, v jednotlivých byla buď bílá, nebo hnědá vejce. Když přišli Emil s Holubem, zůstaly v nich tyto počty vajec: 5, 29, 23, 14, 6 a 12. Prodavač ukázal na jeden koš s bílými vejci a řekl: „Prodám-li všechna vejce z tohoto koše, zůstane mi dvakrát více bílých vajec než hnědých.“ Emil s Holubem do košů viděli, ale když to takhle prodavač řekl, napadlo je, že by to byla hezká úloha. A když zjistili cenu za jedno vejce, rozhodli se, že přivezou svému známému jako suvenýr úlohu do sbírky.

Úloha č. 6:

Kolik bílých a kolik hnědých vajec bylo ve všech šesti koších v době návštěvy cestovatelů?

V dalších dnech svého pobytu v Austrálii zhlédli spoustu zajímavých měst, zažili mnoho neobvyklých setkání s domorodci, zkrátka si svou poslední etapu cesty kolem světa užívali. Vpředvečer svého definitivního odjezdu zašli na poslední, slavnostní večeři. Rozhodli se, že si dají kiwiové knedlíky. (Něco jako u nás doma knedlíky švestkové, ale místo švestek bylo kiwi.) Zaujal je způsob servírování. Z každé dávky kuchař vyrobil 605 knedlíků stejného průměru a vyrovnal je do dvou pyramid. V jedné byly knedlíky ve spodní vrstvě srovnané do čtverce, ve druhé do rovnostranného trojúhelníku. Obě pyramidy měly stejný počet vrstev. Teprve z takto vyrovnaných knedlíků se servírovalo na talíře.

Úloha č. 7:

Kolik kiwiových knedlíků bylo v každé pyramidě?

Po dobré večeři šli spát, neboť brzo ráno se měli nalodit na loď, která je měla odvézt domů. Na palubě si opět dlouhou chvíli krátili hraním matematické hry. Hráli piškvorky na šachovnici 3 \times 3. Tedy postupně kreslili, Holub křížky a Emil kolečka. Skončili v okamžiku, kdy první z nich měl své tři symboly v nějaké řádce, v nějakém sloupci nebo v jedné z úhlopříček.

Úloha č. 8:

Existuje strategie, podle které když bude hrát první hráč, tak pokaždé vyhraje? Existuje strategie, podle které když bude hrát druhý hráč, tak pokaždé vyhraje? Existuje strategie, podle které když hraje první hráč, tak nikdy neprohraje (remizuje nebo vyhraje)? Existuje strategie, podle které když hraje druhý hráč, tak nikdy neprohraje (remizuje nebo vyhraje)?