Zadání 2. série 12. ročníku

Termín odelslání: 17. února 1997

Adresa:12

V minulé sérii jsme opustili naše dva cestovatele Emila a Holuba ve chvíli, kdy cestovali horkovzdušným leteckým dostavníkem směrem k nejvyšší hoře světa zvané Mount Everest.

Jenže cestou jim docházely zásoby a - co je daleko nejhorší

• mýdlo. (Vzpomeňte si na úlohu, kterou jste řešili v minulé sérii.) Proto se rozhodli přistát u jednoho tibetského města.

Přistáli nedaleko brány do města. Ihned po přistání se Holub vrhl k bráně. Emil vybaloval zavazadla a uvazoval si šálu kolem krku. Všude kolem byl totiž led a sníh.

Před branou bublal - navzdory mrazům - horký pramen. Holuba však zajímala hlavně brána - už aby byl ve městě! Ale bylo zamčeno. Na bráně bylo přilepeno několik letáků. Většinou se týkaly toho, že dovnitř se nesmí se zmrzlinou nebo, že pejsci musejí mít náhubek. Holub ale objevil i cedulku s návodem k otevření brány: „Nalejte do nálevky umístěné vedle kliky přesně 1 litr vody a brána se sama otevře.“ Cestovatel se vrátil k horkému prameni. Teprve teď si všiml, že u vřídla stojí dvě nádoby - třílitrová a pětilitrová. Přemýšlel jen chviličku, a než dorazil Emil, s pyšným úsměvem Holub ukázal na otevřenou bránu.

Úloha č. 1:

(pouze pro žáky 6. tříd)

Jak se Holubovi podařilo odměřit přesně 1 l?

Ve městě bylo teploučko, a tak se naši cestovatelé vydali hledat trh, aby si mohli koupit nové mýdlo.

Trh našli velice snadno. Už z dálky se ozývalo vyvolávání prodavačů zeleniny, prodavačů koberců, prodavačů nádobí. Dokonce i prodavačů zmrzliny, i když ve městě bylo zakázáno chodit se zmrzlinou.

Emil s Holubem se nestačili ani rozhlédnout po prodavačích s mýdlem a už jim padl do oka kouzelník, který zde předváděl své kousky. Například ukázal divákům prapodivný tvar (viz obrázek 1). Prý, kdo ho dovede rozdělit na čtyři stejné části (to znamená stejný počet čtverečků a stejný tvar), ze kterých půjde složit čtverec, tomu dá tento kouzelný čtverec na památku. Emil si chvilku lámal hlavu, ale ať se snažil sebevíc, nemohl na nic přijít. Dospěl dokonce k závěru, že něco takového snad ani nejde. O to více však poulil oči, když Holub pohotově vyskočil a udělal, co po něm kouzelník chtěl.

Úloha č. 2:

(pouze pro žáky 6. a 7. tříd)

Rozdělte obrazec na čtyři stejné části, ze kterých půjde složit čtverec.

(obr. 1)

Představení však pokračovalo: Kouzelník nakreslil na tabuli veliký kruh a dal čtyřem přítomným čtyři křídy: čevenou, zelenou, modrou, a žlutou. Otočil se zády a požádal je, aby červenou křídou zaplnili 2\over3 kruhu, zelenou 3\over4, modrou 4\over5 a žlutou 5\over6 (mohli kreslit přes sebe). Pak, aniž by se otočil, řekl, kolik procent je minimálně zamalováno všemi barvami. A měl pravdu.

Úloha č. 3:

Jaké číslo kouzeník řekl? (Určitě řekl to největší možné).

Dalším kouzelníkovým kouskem bylo toto: Nakreslete libovolně velkou pravidelnou pěticípou hvězdu (viz obrázek 2). Sečtěte všechny úhly u cípů hvězdy. Toto číslo vám vyšlo všem stejné.

(obr. 2)

Poznámka: Pravidelnou hvězdu dostanete tak, že nakreslíte kružnici, na jejím obvodu nanesete 5 bodů tak, aby každé dva sousední tvořily se středem úhel o velikosti 72^{o}. Pak spojíte všechny vrcholy, které spolu nesousedí.

Úloha č. 4a:

Jak je to možné? Vždyť každý si nakreslil jinak velkou hvězdu.

Emil si to samozřejmě zkusil taky. Ale nepovedlo se mu nakreslit pravidelnou hvězdu a co víc, jeho hvězda byla dosti nepravidelná. O to větší bylo jeho překvapení, když mu po změření všech úhlů u cípů vyšlo stejné číslo jako ostatním.

Úloha č. 4b:

Stalo by se to vždy? A proč?

Poznámka: Úlohy 4a a 4b řešte na stejný papír. Pět bodů získá pouze ten, kdo odpoví správně na obě.

Holub mu to samozřejmě hned začal vysvětlovat. Když kouzelník viděl, že cestovatelé jsou velice důvtipní, vzal si je stranou a předložil jim problém, který mu zůstal nevyřešen ještě od minulého roku: hledá nejmenší číslo, kterým když vynásobí 1996, dostane mocninu nějakého přirozeného čísla. Řekl si, že to bude řešit tímto způsobem: každý den si vezme číslo o jedno větší než předchozí den a zkusí ho vynásobit číslem 1996 a zjistí, jestli je to mocnina nějakého přirozeného čísla. Začal číslem 1. Už to tak dělá rok a den (367 dní - rok 1996 byl přestupný) a stále nenašel ani jedno. Holub se zamyslel a řekl kouzelníkovi, že takto by mu to trvalo ještě ... dní.

Úloha č. 5:

Jaké číslo řekl Holub kouzelníkovi?

Kouzelník byl nadšen. Velice jim děkoval, nakouzlil jim mýdla, že ho měli až do konce cesty kolem světa. Chtěl je pozvat do svého sídla na oběd, ale že si ještě musí odskočit do soudní budovy. Přivydělává si totiž vedle kouzelnictví také tím, že dělá soudce.

V soudní budově bylo už plno. Obviněným byl moudrý, velmi učený a mocný kníže Buď-ď-ham. Buď-ď-ham panoval spravedlivě a pravidelně. Vždy ráno v osm ho jeho osobní rikša přivezl až do úřadu a zase jel domů. Odpoledne rikša vyjel, aby byl u úřadu přesně v 15:30. Nabral Buď-ď-hama a jeli domů. Onoho kritického dne skončil Buď-ď-ham o něco dříve, a proto se rozhodl, že půjde rikšovi naproti. Cesta vedla kolem posvátného sloupu. Když narazil na svého rikšu, nasedl a hned jeli domů. Doma byli o půl hodiny dříve než obvykle. Posvátný sloup přesně v 15:20 někdo zneuctil nápisem: „Dejte mi pevný bod a pohnu zemí.“ Protože to byl moudrý citát, padl stín podezření na Buď-ď-hama.

Úloha č. 6:

Má Buď-ď-ham alibi na danou hodinu?

Po soudu šli cestovatelé ke kouzelníkovi na hostinu. Hlavním chodem byly rýžové knedlíky (něco jako u nás doma knedlíky švestkové, ale místo švestek byla rýže). Oběda se zúčastnila i kouzelníkova manželka. Po obědě každý pronesl jednu větu:

Emil: Nesnědl jsem nejvíc ani nejmíň knedlíků.

Holub: Nesnědl jsem nejméně knedlíků.

Kouzelník: Snědl jsem nejvíc knedlíků.

Manželka: Snědla jsem nejméně knedlíků.

Právě jeden z nich lhal.

Úloha č. 7:

Určete, kdo snědl nejvíce knedlíků a kdo lhal.

Po obědě zbylo 25 knedlíků, a tak Holub s Emilem hráli následující hru:

Hráč, který je na tahu, si může odebrat 1, 2 nebo 3 knedlíky. Vyhrává ten hráč, který má na konci hry (po odebrání posledního knedlíku) na své kopce sudý počet knedlíků.

Přestože vždy začínal Holub, Emil vyhrál.

Úloha č. 8:

Dokázali byste to také? A jak?

Podúlohy (není nutno řešit, slouží pouze k zamyšlení): Dokázali byste zvítězit i při jiném počtu knedlíků? Kolik by muselo být knedlíků, aby při dobré hře prvního a libovolné hře druhého zvítězil pokaždé první?

Po dobrém obědě se cestovatelé chtěli vydat na další cesty. Kouzelník se jich zeptal, kam mají namířeno, a jestli by je tam mohl přenést mocným kouzlem. Cestovatelé souhlasili a nechali se mocným kouzlem přenést do Austrálie.