Řešení 3. série 12.ročníku
Úloha č. 1
(Upraveno podle Anežky Christovové:)
a) Aby Torin zvítězil, musí alespoň v šesti podříškách získat nejméně 46 hlasů. Nejrychleji se mu to podaří, povede-li kampaň v říškách, kde již teď má nejvíce příznivců. V první říšce kampaň samozřejmě nepovede, tam už převahu nad Hugem má. V následujících říškách povede kampaň po řadě 6, 11, 16, 21 a 26 hodin.
b) Torin má několik možností, jak si zajistit vítězství, i když Hugo změní pět lístků. Buď si v prvních šesti podříškách získá ještě po pěti přívržencích (aby jich měl v každé 51) nebo si vítězství pojistí ještě v dalších podříškách - pak již nemusí mít přívrženců v každé říšce 51, ale stačí mu jich méně, podle počtu říšek, např.: sedm říšek po 48 voličích (aby mu Hugo vzal říšku, musí mu v ní změnit alespoň tři lístky - to znamená, že zde může vzít jen jednu) (dál například 8 říšek po 47 voličích, 9 říšek -- 7 \cdot 47 voličů a 2 \cdot 46 voličů, atd.) Na to, aby Torin v prvních šesti podříškách získal navíc po pěti přívržencích, potřebuje 2 + 5 \cdot 5 = 27 hodin. Aby získal alespoň vítězství - to znamená 46 voličů - v další (sedmé) říšce potřebuje 31 hodin, tedy o 4 hodiny navíc. Řešení 6 \cdot 51 voličů je tedy nejrychlejší.
Komentář: U otázky b) jste se skoro všichni „trefili“ do „nejrychlejšího řešení“, ale většina z vás se vůbec nezabývala tím, jestli ještě nějaké řešení existuje.
Úloha č. 2
Kolik vody spadlo na pozemek, když pršelo?
V | = | a \cdot b \cdot c |
V | = | 10 m \cdot 15 m \cdot 2 mm |
V | = | 100 dm \cdot 150 dm \cdot 0,02 dm |
V | = | 300 dm{3} = 300 l |
A jakým objemem vody zaléval záhon zahradník?
V^{*} | = | 30 \cdot 8 l |
V^{*} | = | 240 l |
Zahrada byla lépe zalita v deštivých dnech.
Komentář: Většina z vás došla ke správnému výsledku, ale ukázalo se, že mnozí nedovedou pracovat s jednotkami. Matematika je věda přesná. Nemůžu napsat 10 \cdot 15 m = 150 m^{2}, protože to není pravda. A už vůbec nemůžu napsat 150 m^{2} = 300 l.
Jestliže se mají dva výrazy rovnat, musí si odpovídat nejen číselně, ale i jednotkami. Jinak si popletete jablka s hruškami a v obtížnější úloze se ztratíte. Pozor na to!
Úloha č. 3
Většina řešitelů se dostala k počtu 15 stromů. Stromy sázeli buď do vrcholů čtverců o straně 20 metrů (tři řady po pěti stromech), a nebo do vrcholů rovnostranných trojúhelníku, což je způsob úspornější, ale v našem případě nám moc nepomohl. Ovšem počet patnáct stromů není maximální. Pokusme se to tedy vyřešit.
Vezměme nejúspornější způsob rozmístění stromů, tj. do vrcholů rovnostranných trojúhelníků. Udělejme to takto:
Z obrázku je vidět, že patnáct stromů se nám do zahrady vejde, ale další řada (tři stromy) už ne. V zahradě bude zřejmě méně stromů než osmnáct. Číslo 17 je prvočíslem, nedá se nijak rozložit, takže nám asi bude vždy jeden strom zbývat. Tedy maximální počet stromů v zahradě je šestnáct. A rozmístění vypadá např. takto:
Úloha č. 4
Nejprve si je třeba uvědomit, že když Emil bude plavat rovně od Sopti, nestihne ke břehu dorazit dříve, protože polovina obvodu kruhu (Sopťova dráha) je jen \pi \cdot r = (3,14 \cdot r). Aby Emil přímým plaváním ke břehu Sopťovi utekl, bude-li plavat k místu na druhé straně jezera, než je Sopťa, musí být od tohoto místa vzdálen méně než $\pi\over4 \cdot r, což je přibližně 0,785 \cdot r.$
Bude-li střed jezera na spojnici Emila a Sopti, musí být Emil více než 0,215 \cdot r od středu. Bude-li Emil plavat v kruhu se středem ve středu jezera s poloměrem menším než r \over 4, může dostat střed jezera mezi sebe a draka, protože doba, za kterou uplave celou kružnici, bude kratší než ta, za kterou drak oběhne jezero, protože drakova dráha bude víc než čtyřikrát delší. Je důležité, že toho může dosáhnout, ať drak stojí či jakkoliv mění směr a rychlost běhu. Bude-li plavat v kruhu o poloměru 0,24 \cdot r < r \over 4 dosáhne této polohy a od středu bude dál než 0,215 \cdot r, a tudíž přímým plaváním drakovi uplave.
Komentář: Mnozí z vás předpokládali pohyb draka ne nejlepším způsobem. Pro draka není vždy výhodné běžet na místo, kam Emil plave, protože Emil by se mohl obrátit, ale na takové místo, ke kterému je Emil právě nejblíže, protože k němu se Emil může dostat nejrychleji. Někteří napsali, že Emil bude plout stále směrem od draka (v jakési spirále), ale nedokázali, že by mu opravdu uplaval.
Úloha č. 5
Na váhu položíme jeden knedlík z první krabice, dva knedlíky z druhé krabice, tři knedlíky ze třetí krabice, ... a tak dále až deset knedlíků z desáté krabice. Kdyby knedlíky vážily 100g, musela by váha ukázat 5500 g ($100 \cdot (1 + 2 + 3 + \cdots + 10) = 100 \cdot 55$). Jenže v jedné krabici byly knedlíky jen devadesátigramové. Proto váha ukáže méně: dejme tomu o K gramů. Z toho jednoznačně určíme, kolik falešných knedlíků je na váze (K / 10). A protože jsme z každé krabice dali jiný počet knedlíků, určíme také, ze které krabice tyto falešné knedlíky pocházejí.
Poznámka: Někteří se zapletli s pojmem „váhy měří s přesností na 10 g“. Podle nás to je stejné jako: „váhy rozpoznají 10-ti gramový rozdíl“. V jiném případě úloha neměla řešení.
Úloha č. 6
Zadání této úlohy bylo bohužel značně nejasné. Nepsalo se v něm nic o tom, zda jsou kostky odlišné (a tedy rozlišujeme-li hody 1-2 a 2-1), či od sebe k nerozeznání, a tedy 2-1 a 1-2 uvažujeme jako jednu možnost. Mnozí z vás také správně zapochybovali, že šestistěnná kostka ještě neznamená kostka s počty puntíků 1-6.
Na první otázku jsou v zásadě možné 2 odpovědi:
- (1.) Různých hodů je 36 (na první kostce mohou padat čísla 1 až 6 a ke každému z nich na druhé kostce 1 až šest, tedy 6 \times 6 = 36), což je výsledek pro odlišné kostky.
- (2.) Jsou-li kostky nerozlišitelné, je 21 různých možností, co může padnout (např. 3-2 a 2-3 uvažujeme jako 1 možnost)
A nyní k další otázce: Při kolika hodech vyhrává kasino? Otázka měla spíše znít, jaká je pravděpodobnost, že vyhraje kasino?
Většina z vás odpovídala, jako by otázka zněla: Při kterých hodech vyhrálo kasino? Pokud jste kostky nerozlišovali, zjistili jste, že z 21 možností je 12 příznivých pro kasino a 9 pro hráče. Vzhledem k zmatenému zadání byla i tato odpověď hodnocena plným počtem bodů, ale POZOR!
Je třeba si uvědomit, že např. hod 3-1 padá dvakrát častěji než hod 1-1 (tady musí padnout na každé kostce 1, kdežto při 3-1 nám může padnout dvěma způsoby -- jako 3-1 a 1-3 -- na chvíli si musíme představit kostky rozlišené).
Úplně správně měl tedy úlohu vyřešenou ten, kdo bral v úvahu různé kostky, 36 různých hodů, každý stejně pravděpodobný. Viz řešení v tabulce. Zde je pro hráče příznivých 15 možností, pro kasino 21.
Pokud někdo napsal obě úvahy, neprohloupil. Opravovatelka se omlouvá za drobné škrty v některých řešeních.
|
|||||||||||||||||||
Kostka | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
1 | H | H | H | H | H | K | |||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
2 | H | H | H | H | K | K | |||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
3 | H | H | H | K | K | K | |||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
4 | H | H | K | K | K | K | |||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
5 | H | K | K | K | K | K | |||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
6 | K | K | K | K | K | K | |||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
$$ |
Úloha č. 7
Vytáhněme kuličku z krabice, na které je víko ČB. Protože je v zadání uvedeno, že víko žádné krabice neodpovídá obsahu, víme, že v ní jsou obě kuličky stejné. Patří na ni tedy víko ČČ nebo BB, samozřejmě podle toho, jakou kuličku jsme vytáhli. Zaměříme se nyní na krabici s víkem BB nebo ČČ (jiném než to, které jsme dali na krabici původně označenou ČB): na tu nepatří ani to víko, které na ní je (opět podmínka v zadání), ani víko, které jsme už dali na krabici původně označenou ČB, zbývá nám tedy víko ČB. A zůstala nám jedna krabice a jedno víko, a ty už patří k sobě.
Například vytáhneme-li z krabice s víkem ČB černou kuličku, patří na ni víko ČČ. Na krabici s víkem BB patří ČB a na krabici s víkem ČČ patří BB.
Úloha č. 8
Komentář: Úloha byla sice špatně zadaná, ale to přece skutečnému matematikovi nevadí. Naopak bylo mnohem jednodušší opravování, jelikož všechna řešení, která dokazovala původní tvrzení (Jak je možné, že Emil neustále vyhrával, přestože vždy začínal Holub?) jsem mohl ohodnotit jako špatné. Správně měla totiž otázka znít: (Jak je možné, že Emil neustále vyhrával, i když pokaždé začínal?). Řešitelům, kterým jsme tímto přehlédnutím způsobili problémy, se omlouváme. Poučení pro příště je takové, že nikdo není neomylný a někdy můžete získat plný počet bodů, i když vyvrátíte to, co máte dokázat.
Řešení: Budeme postupovat od konce. Nejdříve si vyznačíme (*) políčka, z nichž se můžeme jediným tahem dostat do cíle (levého dolního rohu).
8 | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
7 | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
6 | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
5 | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
4 | * | $$ | $$ | * | $$ | $$ | ||
3 | * | $$ | * | $$ | $$ | $$ | ||
2 | * | * | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
1 | C | * | * | * | $$ | $$ | ||
$$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
A nyní si označíme (P) políčka ze kterých se můžeme dostat pouze do políček označených (*).
8 | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
7 | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
6 | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
5 | P | $$ | $$ | $$ | $$ | $$ | ||
4 | * | $$ | $$ | * | $$ | $$ | ||
3 | * | P | * | $$ | $$ | $$ | ||
2 | * | * | P | $$ | $$ | $$ | ||
1 | C | * | * | * | P | $$ | ||
$$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Dále si označím (V) políčka z nichž se můžu dostat do P (není zde řečeno pouze do P, ale že alespoň jedno z políček, na které se můžeme dostat, je P)
8 | V | $$ | $$ | V | $$ | $$ | ||
7 | V | $$ | V | $$ | $$ | $$ | ||
6 | V | V | $$ | $$ | V | $$ | ||
5 | P | V | V | V | $$ | V | ||
4 | * | V | V | * | V | $$ | $$ | V |
3 | * | P | * | V | V | $$ | V | |
2 | * | * | P | V | V | V | ||
1 | C | * | * | * | P | V | V | V |
$$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Nyní si již jen označíme (F) políčka, z nichž se vždy musí jet do políčka označeného (V) nebo (*).
8 | V | $$ | $$ | V | $$ | $$ | ||
7 | V | F | V | $$ | $$ | $$ | ||
6 | V | V | F | $$ | V | $$ | ||
5 | P | V | V | V | F | V | ||
4 | * | V | V | * | V | $$ | $$ | V |
3 | * | P | * | V | V | F | V | |
2 | * | * | P | V | V | V | F | |
1 | C | * | * | * | P | V | V | V |
$$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Jako poslední si označíme (K) políčka, z nichž vede alespoň jedna cesta do políček označených (P) nebo (F).
8 | V | K | K | V | K | $$ | $$ | K |
7 | V | F | V | K | K | $$ | K | |
6 | V | V | F | K | V | K | ||
5 | P | V | V | V | F | V | K | K |
4 | * | V | V | * | V | K | K | V |
3 | * | P | * | V | V | F | V | K |
2 | * | * | P | V | V | V | F | K |
1 | C | * | * | * | P | V | V | V |
$$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Nyní si rozdělíme políčka na prohrávající a vyhrávající. Prohrávající jsou ta políčka, která jsou označena (P) a (F). Ostatní políčka jsou vyhrávající
- můžeme se z nich dostat do nějakého prohrávajícího políčka, nebo učinit vítězný tah. Holub tedy z počátečního políčka (vyhrávajícího) pojede na nějaké prohrávající. Emil musí poté jet na nějaké vyhrávající a Holub opět může jet na nějaké prohrávající. Takhle to půjde neustále dokola, dokud Holub (pokud neudělá chybu) nevyhraje.
Správná odpověď tedy je, že vyhrát může hráč, který začíná, pokud se bude držet výše popsaného postupu. Správná odpověď na otázku v zadání je, že Holub prohrál, jelikož neznal vítězný postup.