Řešení 2. série 12.ročníku

Úloha č. 1

Holub to mohl provést dvěma způsoby:

(a) Naplnit třílitrovou láhev, přelít do pětilitrové, opět naplnit třílitrovou, z ní dolít dva chybějící litry do pětilitrové a v třílitrové mu zbyl 1 litr.
(b) Naplnit pětilitrovou láhev, z ní přelil 3 litry do třílitrové a to vylil. Dva zbylé litry v pětilitrové přelil do třílitrové. Znovu naplnil pětilitrovou, v třílitrové chyběl 1 litr, ten dolil z pětilitrové, plnou třílitrovou vylil. V pětilitrové mu zbyly čtyři litry. Když z nich opět naplnil třílitrovou láhev, zůstal mu v pětilitrové 1 litr.

Úloha č. 2

Téměř všichni jste rozdělili obrazec na 4 stejné části (obsahem i tvarem), ale někteří jste zapomněli ověřit, zda z nich jde opravdu složit čtverec.

Vodítkem při rozdělování útvarů byly 2 přečnívající čtverečky dole a také jeden čtvereček vlevo nahoře. Podle počtu čtverečků bylo jasné, že jeden díl obsahuje devět čtverečků.

Obr.1 - rozdělení obrazce Obr.2 - složení čtverce

Úloha č. 3

Nejprve krátký komentář k zadání, které si mnozí z řešitelů špatně vyložili. Plochou zamalovanou všemi barvami je myšlena ta část, na kterou bylo malováno postupně všemi čtyřmi barvami. Kouzelník řekl největší možné číslo, aby měl jistotu, že je všemi barvami zamalováno aspoň tolik, tudíž musel říct minimální plochu. Jak tuto určíme? Minimální plochu zamalovanou 4 barvami získáme tak, že zamalujeme 2\over3 červeně. Pak čistou 1\over3 zeleně a bude 3\over4 - 1\over3 = 5\over12 červenozelené plochy. Modře pak zamalujeme nejprve 7\over12 jednobarevných a zbude 4\over5 - 7\over12 = 13\over60 trojbarevných. Nakonec žlutě zamalujeme nejdříve 47\over60 dvoubarevných a zbude 5\over6 - 47\over60 = 3\over60 čtyřbarevné. 3 \over 60 = 5\%.

Tedy všechno, co není zamalováno čtyřmi barvami, je třemi. Když vezmeme nějaké jiné zamalování, musí být část zamalována méně než třemi barvami, ale pak část zamalovaná čtyřmi barvami musí být větší (musí se tam promítnout to, co chybí ve třetí vrstvě, či ve druhé vrstvě).

Úloha č. 4

Úlohu vyřešíme pro libovolnou pěticípou hvězdu a tím splníme obě části zároveň.

Vezměme libovolnou pěticípou hvězdu (viz obr.). Její cípy označme A, B, C, D, E a úhly jim odpovídající \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon. Dále si označme průsečíky úsečky BE s AC a AD jako K, L.

Nyní uvažujme \triangle EKC. Víme, že součet úhlů v trojúhelníku je roven 180^{o}.

Z toho: v(\angle EKC) = 180^{o} - \gamma - \epsilon. K tomuto úhlu úhel doplňkový má velikost $v(\angle AKL) = 180^{{o} - v(\angle EKC) = \gamma + \epsilon.$}

Stejnou úvahou pro \triangle BDL dostaneme:

v(\angle BLD)	=	180^{o} - \beta - \delta
v(\angle ALK)	=	\beta + \delta

Dále si všimněme, že úhly \alpha, \angle ALK a \angle AKL jsou vnitřními úhly \triangle AKL, tedy jejich součet dá 180^{o}.

A tím jsme vlastně dostali součet úhlů u cípů pěticípé hvězdy.

Odpověď: Součet úhlů u cípů libovolné pěticípé hvězdy je vždy stejný a roven 180^{o}.

Úloha č. 5

Jak víme, můžeme každé číslo n rozložit jedním způsobem na součin prvočísel, např. n = a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z}. Pak druhá mocnina tohoto čísla n je n^{2} = a^{2x} \cdot b^{2y} \cdot c^{2z}, tedy v prvočíselném rozkladu jeho druhé mocniny jsou všichni mocnitelé sudí. Naopak, jsou-li v prvočíselném rozkladu čísla m všichni mocnitelé sudí, je toto m druhou mocninou přirozeného čísla.

Podívejme se nyní na náš případ: máme najít takové číslo, kterým když vynásobíme číslo 1996, což je 499\cdot2^{2}, dostaneme druhou mocninu přirozeného čísla. V tomto rozkladu již máme mocnitel u dvojky sudý, ještě musíme dosáhnout sudého mocnitele u 499. To ale nemůžeme udělat jinak, než že číslo 1996 vynásobíme právě číslem 499 (kdyby bylo čísel s lichým mocnitelem více, vynásobíme jejich součinem) nebo nějakou jeho lichou mocninou; ovšem toto číslo je menší než tyto jeho mocniny, takže nejmenším hledaným číslem je 499.

Toto číslo 499 je ale číslem, které hledal kouzelník; my chceme vědět, jaké číslo řekl kouzelníkovi Holub, tedy kolik dnů bude ještě trvat, než kouzelník dojde tempem jedno číslo denně k číslu 499, hledá-li už 367 dnů. To ovšem získáme snadno odečtením 499-367=132.

Holub tedy řekl kouzelníkovi číslo 132.

Komentář : Několik z vás při řešení předpokládalo, že kouzelníkovo číslo není menší než 367, což vyplývalo z kouzelníkova neúspěchu při dosavadním hledání, a při zkoušení čísla menší neuvažovalo. Sice jsem to nepovažoval za chybu, ale mohli jste ověřit i kouzelníkovo počítání; nicméně tato řešení byla trochu složitá a založená na zkoušení, takže jsem za ně vesměs strhával jeden bod.

Úloha č. 6

Rikša si ušetřil cestu z místa setkání k úřadu a zpět k místu setkání. Tato cesta by mu trvala přesně tolik času, o kolik byli doma dříve. Tedy půl hodiny. Předpokládejme, že Rikša jezdí stále stejnou rychlostí. Potom by cestu od místa setkání k úřadu urazil za 15 min (30:2). Setkal se tedy s Buď-ď-hamem o 15 minut dříve než obvykle. To je v 15:15. V 15:20 tedy již seděl v rikše anebo byl již doma.

Odpověď: Buď-ď-ham má alibi.

Úloha č. 7

Víme, že lhal právě jeden ze strávníků. Kdo z nich to mohl být?

(1.) EMIL -- tedy snědl:
(a.) nejvíce knedlíků -- ale to už snědl kouzelník, takže by museli lhát dva, což odporuje zadání.

(b.) nejméně knedlíků -- vzniká obdobný spor s výrokem manželky.

Emil lhát nemohl.

(2.) HOLUB -- musel by sníst nejméně, ale to už snědla manželka -- opět by lhali dva. Holub také nelhal.

(3.) KOUZELNÍK -- nikomu neodporuje. Manželka snědla nejméně, Emil a kouzelník ne nejvíce -- největší jedlík je tedy Holub.

(4.) MANŽELKA -- nesnědla nejméně, ale Emil, Holub i kouzelník přímo či nepřímo tvrdí, že nesnědli nejméně. Ale někdo nejméně sníst musel, museli by tedy lhát dva. Manželka nelže.

Jediným možným lhářem je tedy kouzelník a nejvíce snědl Holub.

Poznámka: Úloha má takto jednoznačné řešení pouze v případě, že předpokládáme, že každý jedlík snědl jiný počet knedlíků. Většině řešitelů to nijak nezkomplikovalo život, přesto se omlouváme za neúplné zadání a chválíme ty, kteří si toho všimli.

Úloha č. 8

Komentář: Úloha je hodně náročná a mnoho z vás nezískalo plný počet bodů. A dokonce i ti z vás, kteří získali plný počet bodů, ještě nemuseli mít úplně správné řešení.

Řešení: Budeme postupně „rozebírat“ jednotlivé pozice. Pozicí (x, S), případně (x, L) znamená, že na kopce je x knedlíků a hráč, který je na tahu, má na své hromádce Lichý, nebo Sudý počet knedlíků.

Pozice (0, S) je vyhrávající, zatímco pozice (0, L) je prohrávající. Stačí si uvědomit, že na hromádce není žádný knedlík, a tedy ten, kdo má sudý počet knedlíků, vyhrál, a ten, kdo má lichý počet knedlíků, prohrál.

Pozice (1, L) je vyhrávající, protože soupeř má Lichý počet knedlíků (uvědomte si proč) a mým tahem ho dostanu do pozice (0, L), a tedy prohraje. Opačná situace je u pozice (1, S).

Pozice (2, S) je vyhrávající. Soupeř má lichý počet knedlíků a odebráním dvou knedlíků jej dostanu do pozice (0, L). Podobně i pozice (2, L) je vyhrávající, jelikož soupeř má Sudý počet knedlíků a odebráním jednoho jej dostanu do pozice (1, S).

Skoro stejné je zdůvodnění u vyhrávajících pozicí (3, S) a (3, L). V prvním případě mohu soupeře dostat do pozice (1, S) a v druhém případě do pozice (0, L).

Pozice (4, S) je prohrávající, jelikož mohu soupeře dostat pouze do pozic (1, L), (2, L) nebo (3, L), což jsou všechno vyhrávající pozice. Naopak pozice (4, L) je vyhrávající, jelikož mohu soupeře dostat do pozice (1, S).

Kdybychom pokračovali dál, dostali bychom následující výsledky (v horním řádku je počet knedlíků na hromádce, v řádcích se rozlišuje podle toho, zda máme Sudý nebo Lichý počet knedlíků ve své hromádce, V znamená Vyhrávající pozice a P znamená Prohrávající pozice):

...

Když si tabulku prodloužíte (určitě jste si všimli posloupnosti znaků PVVPVVVV), zjistíte, že pozice (25, S) (tedy počáteční pozice) je prohrávající.

A nyní se podíváme na to, jak hrát. Vždy se snažíme, aby se náš soupeř dostal do jedné z pozic (25,S), (24, L), (21, S), (20, L), $(17, S), (16,L), (13, L), (12, S), (9, S), (8,L), (5,L)$, (4,S), (1,S) nebo (0,L). Jak se můžete každý sám přesvědčit, pokud jsme v nějaké jiné pozici, tak se do jedné z výše uvedených můžeme dostat.

Budete-li hrát podle následujících pravidel, vždy vyhrajete (při počátečních 25 knedlících):

Jestliže soupeř odebere jeden knedlík, my odebereme tři knedlíky.
Jestliže soupeř odebere tři knedlíky, my odebereme jeden knedlík.
Jestliže soupeř odebere dva knedlíky a na hromadě je lichý počet knedlíků, potom odebereme tři knedlíky, je-li na hromadě sudý počet knedlíků, potom odebereme jeden knedlík.