Řešení 1. série 12.ročníku

Poznámka: Tato řešení nejsou tak úplně vzorová řešení. Opravovatelé se v nich snaží nastínit jen nejdůležitější kroky, případně odůvodnit proč strhávali někde body. V žádném případě netvrdíme, že tato řešení jsou jediná a taky netvrdíme, že by za ně autor případně dostal plný počet bodů.

Úloha č. 1

(upraveno podle Katky Quittnerové)

Počet morčátek označíme M, počet křečků K, hadů H, sloníků S a počet všech zvířátek Z.

Potom platí:

a tedy

Dále platí H>0 (existuje alespoň jeden had - Vilém). Výsledek musí být přirozené číslo. Tyto podmínky splňuje pouze S=0 a H=1.

Odpověď: Cestovatelé s sebou měli 1 morčátko, 1 křečka a 1 hada.

Komentář: Většina z vás došla ke správné odpovědi (dala se odhadnout „na první pohled“), ale už méně jste se zabývali tím, jestli neexistují ještě jiná řešení. Zapomínali jste na možnost 2 zvířata (2 sloníci), která splňuje podmínky zadání až na to, že bylo výslovně řečeno, že existuje alespoň 1 had (Vilém). Pokud jste takto neuvažovali (a nenapsali to do řešení), nemohla jsem řešení považovat za správné, protože bylo neúplné.

Úloha č. 2

Hodiny bily pětkrát, tzn. buď a) půl - celá - půl - celá - půl nebo b) celá - půl - celá - půl - celá. Jestliže v první celou hodinu odbily x úderů, pak druhou celou odbily x+1 úderů, případně třetí celou x+2 úderů. V každou půlhodinu bily jen jednou. Celkem tedy bily

Víme, že hodiny bily celkem 11 úderů, tedy

Protože x je počet (úderů v celou hodinu), musí to být celé číslo. Nastala tedy situace b) a hodiny bily naposledy x+2=4 údery.

Cestovatelé skončili s balením po čtvrté hodině.

Komentář: Ke správnému výsledku jste vesměs došli, ale za řešení zkusmo jsem udělovala pouze 1 bod.

Úloha č. 3

(upravené podle Jakuba Galgonka):

Označím si R rok, M měsíc, D den mého narození. Dále si označím jako x počet 29. 2. od mého narození do mých jedenáctých narozenin. Jsou dvě možnosti: x=2 (x=3). V den svých jedenáctých narozenin budu mít přesně 11 \cdot 365 + x dní (rok má 365 dní + x krát byl přestupný rok). To je $4015 + x= 4017 (4018$).

Teď zbývá určit jaké datum bylo 17 (18) dní před mými jedenáctými narozeninami. Toto je již pro konkrétní datum jednoduché, avšak obecně dá trochu práce.

Označím si y= D - 17 (y = D - 18).

Pokud je y kladné, je řešením datum: y.M.R+11.

Pokud je y záporné nebo nula, přičtu y k počtu dní v předchozím měsíci (p). Datum bez roku je p+y. M-1. (y je záporné, takže od počtu dní vlastně odčítám). Je-li M jiný než leden, je výsledný rok R+11. Je-li však M leden, je měsícem M-1 myšlen prosinec a výsledný rok bude R+10.

Komentář: Častá chyba byla počítat, že v den svého narození máte již jeden den.

Úloha č. 4

Vezměme nejdříve v úvahu informace číslo (1), (4) a (5). Podle (1) je Vrbno výš než Kilitown, ten je podle (4) výš než Kilihira a tedy pokud platí (1) i (4), je Vrbno výš než Kilihira, což je ale v rozporu s informací (5). Tedy aspoň jedna z těchto informací je nepravdivá. Podobnou úvahu provedeme s informacemi (3), (5) a (7). Podle (3) je Vrbno výš než Manžarovile, ten je dle (7) výš než Kilihira, a tedy Vrbno je výš než Kilihira - rozpor s (5). V každé dvojici je alespoň jedna informace nepravdivá, tedy ta, která je v obou dvojicích: (5).

Nyní vesnice snadno seřadíme: (1) Vrbno je výš než Kilitown, (6) Kilitown je výš než Manžarovile, (7) Manžarovile výš než Kilihira, (2) Kilihira výš než Kiligrad. Nyní již jen ověříme, že nepravdivá informace je pouze informace (5) a tedy vesnice leží v tomto pořadí (od nejvýše položené): Vrbno pod Kilimandžárem, Kilitown, Manžarovile, Kilihira, Kiligrad.

Komentář: Nejčastější chybou bylo, že jste z rozporu informací (1), (4) a (5) přímo odvodili nepravdivost (5). Dále jste často napsali, že jste postupovali zkoušením, což ovšem nebylo dále rozvedeno. Mnoho z vás nenapsalo vůbec žádný postup.

Úloha č. 5

Úlohu jste většinou řešili tak, že jste zjistili objem mýdla současného (100 cm^{{3} ), objem mýdla původního (800 cm}{3} ) a snadno jste pak určili, že když 700 cm^{{3} (tj. 7\over8) mýdla spotřebovali za 21 dní, 100 cm}{3} (tj. 1\over8) spotřebují za 3 dny.

„Pěknější“ řešení je řešení obecné, kdy vůbec nezáleží na rozměrech mýdla, ale důležité je jen to, že délky hran se zmenšily na polovinu:

Zbývá jim tedy 1\over8 původního mýdla. 7\over8 vymydlili za 21 dní, 1\over8 jim vystačí na 3 dny.

Komentář: Chybovali jste zejména v tom, že jste mylně předpokládali, že objem mýdla se zmenšil na 1\over2 (ukázali jsme si, že správně je na 1\over8). Dále jste vypočítávali spoustu zbytečných údajů (spotřebu za den apod.), čímž vznikaly nepřesnosti, za něž se taky strhávaly body.

Úloha č. 6

Samozřejmě bychom domorodcům dokázali poradit. Řešení je totiž ohromné množství a snad každý snadno nějaké řešení najde. Ovšem správný řešitel semináře by se neměl spokojit s prvním řešením, co jej napadne, ale měl by zapojit fantazii a dovolit mozečku trochu zapracovat. Protože právě v tom je krása řešení a to se také hodnotí.

Vyberu pouze několik řešení z toho velkého množství. Všimněte si, že čtverce musí být vždy stejné. U trojúhelníků tomu tak není, ba trojúhelníky ani nemusí být pravoúhlé. Jde nám pouze o stejný obsah. A obsah trojúhelníka se spočítá jako:

kde a je velikost strany trojúhelníka a v_{a} je velikost výšky na stranu a.

Úloha č. 7

Nejdříve si spočítáme, za jak dlouho by Pepa, Emil a Holub sami snědli celou mísu banánových knedlíků. Použijeme následné označení: X (doba, za kterou Pepa a Holub sní celou mísu), P (doba, za kterou Pepa sní celou mísu), E (doba, za kterou Emil sní celou mísu) a H (doba, za kterou Holub sní celou mísu). Rychlost pojídání banánových knedlíků je: $ mísa \over čas jezení$. Ze zadání víme, že Pepa, Emil a Holub jedli rychlostí 1 mísa \over 20 min., Pepa a Emil jedli rychlostí 1 mísa \over 30 min., a Emil s Holubem jedli rychlostí 1 mísa \over 40 min..

Z toho sestavíme následující rovnice:

Určitě platí:

Po dosazení:

Pepa s Holubem by stejnou mísu banánových knedlíků jedli 24 min.

Úloha č. 8

Komentář: Při opravování tohoto příkladu mě zarazilo, kolik řešitelů tvrdilo, že vyhraje-li Emil jednu hru, vyhraje všechny. Těmto lidem jsem dával automaticky 0 bodů. Další věc, která se mi nelíbila, byl předpoklad, že každý hráč se snaží odebrat sirku při každém tahu (i když někdy Emil neodebere sirku, je to pro něj výhodnější) a konečně mi vadilo, že předpokládáte, že hráči nejdříve dohrají jednu hromádku a pak jdou teprve na další.

A teď již k řešení

(upravené podle Katariny Quittnerové a Honzy Blažka):

V každé kupce je na začátku lichý počet sirek. Hrát začíná Holub a musí jednu z nich rozdělit na hromádku s lichým (a tu si případně vzít) a na hromádku se sudým počtem sirek. Následuje Emil, který si vybere hromádku se sudým počtem sirek a odebere z ní jednu sirku, čímž z ní vytvoří hromádku s lichým počtem sirek nebo zůstane jedna sirka a tu si také vezme. A opět je na tahu Holub a opět jsou počty sirek ve všech hromádkách liché.

Jak vidíme, v každém tahu získá Holub maximálně 1 sirku, ale Emil získá pokaždé jednu sirku a občas i dvě. Bude-li se Emil řídit výše uvedenou radou, potom pokaždé vyhraje.

A ještě pro některé z vás, že existuje partie, ve které Emil prohraje (pokud hraje špatně):