Zadání 3. série 11. ročníku

Termín odelslání: 25. března 1996

Adresa:11

Upozornění: Jelikož jsme se na poslední chvíli rozhodli, že zaměníme úlohu určenou prouze pro žáky 5. a 6. tříd a nestihli jsme již přepracovat příběh, chtěli bychom vás upozornit, že za 6. úlohu dostávají body pouze žáci 5. a 6. tříd.

Král Piko se řídil vašimi radami a kouzelníka Magicona porazil. Během jejich „souboje“ připravili komoří stůl. Ještě než se k nově připravenému stolu Magicon posadil, předal králi dáreček. Knihu rébusů.

A abyste si mohli představit, co v této knize je, předkládáme vám úlohu:

$$	P	S	Í	C	I
$$	P	S	Í	C	I
$$	P	S	Í	C	I
H	A	F	A	N	I

Úloha č. 1:

Za stejná písmenka doplňte stejné číslice a za různá písmenka doplňte různé číslice tak, aby platilo naznačené násobení. Pozor!! V našem případě je Í a I stejné písmenko!!

A ještě jedna úloha z této knihy:

$$	$$	*	*
$$	$$	*	*
$$	$$	*	*
*	*	*
9	*	*	*

Úloha č. 2:

(pouze pro žáky 5., 6. a 7. třídy)

Za hvězdičky doplňte libovolná čísla tak, aby platilo naznačené násobení.

Jenomže nic netrvá věčně ... natož slavnosti. A tak po týdnu oslav museli zase všichni opět do práce. Této povinnosti se nevyhnul ani králův rádce Všeználek. Tento človíček má podobně jako spousta jiných své zvláštnosti. Například si usmyslel, že každý den bude chodit na hrad jinou cestou. Pro Všeználka jsou dvě cesty různé už tehdy, když se liší v jediné, libovolné ulici. Zároveň ale Všeználek chodí tak, aby ušel co nejkratší trasu. (Což znamená, že chodí pouze na sever a východ.)

Plán města (Všeználek bydlí v levém dolním rohu a Královský hrad je v pravém horním rohu):

Úloha č. 3:

Kolik dní bude moci Všeználek chodit po různých cestách?

Za to, že lidé v království mají Všeználka rádi, může také to, že kdykoliv se na něj někdo obrátí s žádostí o pomoc, tak mu rád a ochotně pomůže.

A přesně tak se zachoval když jej při cestě do práce zastavila skupinka malířů. Měli na čelní stěně jednoho z domů nakreslit obrázek (viz obr.1):

Ještě na ranní poradě si malíři domluvili, že nakreslí nejdříve kružnici a až potom dvě tečny, které se budou protínat. Jenomže když přišli, zjistili, že někdo již nakreslil část obrázku. Přesněji řečeno nakreslil jim dvě přímky, které se protínaly, a bod (viz obr.2).

Malíři se zpočátku dokonce radovali, že skončí dříve, ale později zjistili, že vlastně neví, jak pokračovat. A proto se rozhodli, že požádají o radu Všeználka.

Úloha č. 4:

Navrhněte malířům, jak mají postupovat. Malíři mají speciální malířské vybavení. Dlouhé pravítko (samozřejmě bez měřítka) a velké kružítko. Jsou dokonce schopni si na zeď dělat poznámky barvou, která jde jednoduše odstranit.

Když Všeználek pokračoval dál, všiml si zajímavých lidiček. Zaslechl jejich následující rozhovor:

Mat: "Neznám součet čísel m a n."

Pat: "To jsem věděl. Ale napovím ti, že je menší než 14."

Mat: "To jsem věděl. Ale teď již znám čísla m a n."

Pat: "Tedy i já znám obě čísla."

Večer se pak dověděl, že Mat znal zpočátku pouze součin čísel m a n a Pat znal zpočátku pouze součet čísel m a n. Pro čísla platí 1 < n \leq m.

Úloha č. 5:

Jaká jsou čísla m a n?

Ani na hradě neměl Všeználek pokoj. Král Piko se rozhodl, že zjistí počet lidí v královském městě. Povolal největší mágy a ti mu prozradili:

1) V královském městě mají každí dva obyvatelé různý počet vlasů.

2) Počet obyvatel v královském městě je menší než počet vlasů libovolného obyvatele.

3) Ve městě nikdo nemá 2501 vlasů.

Úloha č. 6:

(pouze pro žáky 5. a 6. třídy)

Kolik má královské město maximálně obyvatel?

A jako by toho všeho ještě nebylo dost, musel nějak rozumně vysvětlit králi Pikovi, že by neměl reagovat na dopis, který mu sliboval nesmírné bohatství. V dopise stálo:

„Drahý příteli, právě nastal tvůj velký den. Chceš-li získat velké bohatství, stačí, když tento dopis opíšeš pětkrát. Na první adresu pošli 100 Rublarů. Všechny ostatní adresy posuň o jedno místo dopředu a na poslední místo napiš svoji adresu. Pokud tak učiní všichni, dostaneš X Rublarů (v textu dopisu je místo X napsáno číslo).

(zde následoval seznam nehod, které se staly lidem, kteří zapomněli)

A na závěr dopisu bylo 5 adres.“

Úloha č. 7:

Kolik lidí by králi poslalo peníze za předpokladu, že všichni budou poctivě opisovat a posílat peníze?

A na závěr vás naučíme další hru. Představte si docela obyčejnou čokoládu. Dva hráči střídavě odlamují podél čar kousky čokolády. Prohrává ten, kdo jako první odlomí kousek 1\times1. Dokázali byste v této hře porazit Petříčka? Opět si můžete po zhlédnutí čokolády vybrat, zda chcete začínat nebo zda dáte přednost Petříčkovi.

Úloha č. 8:

Popište způsob, jakým se budete rozhodovat zda začínat nebo nezačínat. Dále popište způsob, jak budete hrát. A nezapomeňte na zdůvodnění. Pokud se vám úloha zdá těžká, řešte ji pouze pro případ, že čokoláda má rozměry $5 \times 8$ čtverečků.