Řešení 3. série 11.ročníku

Podobnou úvahou jako u $H$ zjistíme, že $A = 1$ nebo $A = 2$. Dále vidíme, že $PS + PS + PS = HAF$. Vypíšeme si tedy všechny možnosti ve tvaru $HAF, PS$: $123, 41$ ($H = S$); $126, 42$ ($A = S$); $129, 43$ (aby $HAFANI$ byli dělitelní třemi, muselo by být $N = 7$, ale pak by nastalo $C = F = 9$, což není možné); $213, 71$ ($A = S$); $216, 72$ ($H = S$) a $219, 73$ (potom by muselo být $N = 5$ a tedy $C = N = 5$, nebo $N = 8$ a $C = 6$, což je řešení). Dále nechť $I = 5$. <table> <tr> <td align="center"></td> <td align="center">$P $</td> <td align="center">$S $</td> <td align="center">$5 $</td> <td align="center">$C $</td> <td align="center">$5 $</td></tr> <tr> <td align="center">

Opět si nejdříve zjistíme, že $A = 6$, nebo $A = 7$. A vypíšeme všechny možnosti. Jenom pozor, tentokrát platí $PS + PS + PS + 1 = HAF$. $163, 54; 166, 55; 169, 56; 172, 57; 175, 58; 178, 59$ (ve všech těchto možnostech je $P = I$), $262, 87$ ($H = F$); $265, 88$ ($P = S$); $268, 89$ ($F = P$); $271, 90$ (potom ale $N = 8$ a $C = P = 9$); $274, 91$ (potom ale $N = 8$ a $C = P = 9$); $277, 92$ ($A = F$). Tedy existuje právě jedno řešení: <table> <tr> <td align="center"></td> <td align="center">$7 $</td> <td align="center">$3 $</td> <td align="center">$0 $</td> <td align="center">$6 $</td> <td align="center">$0 $</td></tr> <tr> <td align="center">

===Úloha č. 2=== Největší možné číslo ve výsledku je $99 \times 99 = 9801$, avšak musí být alespoň $9000$. Oba činitelé musí být větší než $90$ (Vynásobím-li číslo menší než $90$ dvojciferným číslem, dostanu číslo menší než $9000$.) Výsledek součinu prvního čísla s číslicí na místě jednotek druhého čísla je dvouciferný, to znamená, že druhá cifra druhého čísla je 1. Přičemž obě čísla musí být větší než 90. Proto druhé číslo je 91; pro první číslo potom plyne, že je možné pouze 99. Ostatní součiny čísel nedají aspoň 9000. <table> <tr> <td align="center"></td> <td align="center">

===Úloha č. 3=== Na každou křižovatku může Všeználek dojít dvěma způsoby - buď z nejbližší křižovatky na jihu, nebo z nejbližší křižovatky na západě. Počet cest ke každé křižovatce je tedy dán součtem počtů cest, které vedou do nejbližší jižní křižovatky a do nejbližší západní křižovatky. Postupným sčítáním dostaneme část tzv. Pascalova trojúhelníka: <table> <tr> <td align="center">$1 $</td> <td align="center">$\rightarrow $</td> <td align="center">$5 $</td> <td align="center">$\rightarrow $</td> <td align="center">$15 $</td> <td align="center">$\rightarrow $</td> <td align="center">$35 $</td> <td align="center">$\rightarrow $</td> <td align="center">$70 $</td> <td align="center">$\rightarrow $</td> <td align="center">$<u>126</u> $</td></tr> <tr> <td align="center">$\uparrow $</td> <td align="center"></td> <td align="center">$\uparrow $</td> <td align="center">

A tedy ke hradu vede 126 cest. Všeználek může chodit 126 dní různými cestami. ===Úloha č. 4=== Idea: Nakreslím kružnici, která splňuje tu podmínku, že se dotýká obou ramen úhlu. Tu pak zvětším (zmenším) tak, aby se jich stále dotýkala a navíc procházela daným bodem. Toho dosáhnu použitím zobrazení stejnolehlosti (homotetie neboli zvětšení). Konstrukce: Označím si ramena úhlu $r_{1}$ a $r_{2}$. Vrchol tohoto úhlu si označím $V$a zadaný bod $B$. Sestrojím osu úhlu $o$. Narýsuji kružnici $k_{1}$ (se středem $S$), která se dotýká obou ramen úhlu (a leží uvnitř úhlu). Body $V$ a $B$ vedu přímku $p$. Průnik $p \cap k_{1}$ označím $X_{1}$ a $X_{2}$. Z těchto bodů vedu přímky do středu $S$, tj. $X_{1}, S \in q_{1}$ a $X_{2}, S \in q_{2}$; bodem $B$ vedu přímky $t_{1}$, $t_{2}$ rovnoběžné po řadě s $q_{1}$, $q_{2}$. Průnik $t_{1} \cap o$ označím $S_{1}$, $t_{2} \cap o$ označím $S_{2}$. Kružnice $l_{1}$ se středem $S_{1}$ a poloměrem $|BS_{1}|$ a kružnice $l_{2}$ se středem $S_{2}$ a poloměrem $|BS_{2}|$ jsou řešeními dané úlohy. [[Image(archiv/rocnik11/vz3.1.png)]] ===Úloha č. 5=== ''Upravené podle L. Fajta'' Ze zadání vyplývá, že součet čísel <u>m</u> a <u>n</u> může být nejméně 4 a nejvýše 13. Do tabulky vypíšeme všechny možnosti čísel <u>m</u> a <u>n</u> s ohledem na podmínku $1 < n \leq m$. <table> <tr> <td align="left" >$Součet 13 $</td> <td align="center">$n $</td> <td align="center">$m $</td> <td align="center">$n \times m $</td> <td align="left" >$Součet 12 $</td> <td align="center">$n $</td> <td align="center">$m $</td> <td align="center">$n \times m $</td></tr> <tr> <td align="left" >$škrtnuté $</td> <td align="center">$2 $</td> <td align="center">$11 $</td> <td align="center">$22 $</td> <td align="left" ></td> <td align="center">$2 $</td> <td align="center">$10 $</td> <td align="center">$20 $</td></tr> <tr> <td align="left" >

Protože Mat na začátku neznal součet <u>m</u> a <u>n</u>, musí být součin těchto čísel takový, že má i jiné dělitele než 1, sebe sama a <u>m</u> a <u>n</u>. Čísla, která tuto podmínku nesplňují (jde o součin dvou prvočísel nebo o prvočíslo umocněné na třetí), jsou v tabulce vyškrtána. Nyní uvážíme, co znamená, že Pat řekl: &bdquo;To jsem věděl.&ldquo; jako odpověď na Matovo: &bdquo;Neznám součet čísel.&ldquo; Znamená to, že všechny kombinace sčítanců, které dají Patovi známý součet, jsou &bdquo;nejednoznačné&ldquo; (tedy součin každé takové dvojice čísel má i jiné dělitele než 1, sebe sama, <u>m</u> a <u>n</u>). Z toho plyne, že součet čísel <u>m</u> a <u>n</u> je takový, v jehož sloupečku tabulky není nic vyškrtáno - tedy 11. Protože Mat věděl, že součet čísel je menší než 14, musel být součin menší než 24 ($24 = 2 \times 12$ a $2 + 12 = 14$ a pro všechna čísla větší nebo rovna 24 a nevyškrtaná z tabulky platí, že je lze rozložit na dva takové činitele různé od 1 a sebe sama, jejichž součet je větší než 14). Tím vyloučíme všechny možnosti se součtem 11 kromě $n = 2$, $m = 9$. Tedy $n = 2$, $m = 9$. Pro kontrolu si můžeme určit, jak uvažovali Mat a Pat. Mat: Ví, že $n \times m = 18$, ale $18 = 2 \times 9 = 3 \times 6$. &bdquo;Neznám součet čísel <u>m</u> a <u>n</u>.&ldquo; Pat: Ví, že $m + n = 11$, ale $11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6$ $\lbrace 2 \times 9 = 18 = 3 \times 6, 3 \times 8 = 24 = 2 \times 12 = 4 \times 6, 4 \times 7 = 28 = 2 \times 14, 5 \times 6 = 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10.\rbrace$ &bdquo;To jsem věděl. Ale napovím Ti, že je menší než 14.&ldquo; Mat: Kdyby čísla <u>m</u> a <u>n</u> byla 6 a 3, součet by byl 9 a $9 = 2 + 7$, $2 \times 7 = 14$, což je jednoznačné, a Pat by si nemohl být jist, že neznám součet $m + n$. Proto součet musí být 11 a čísla $n = 2$ a $m = 9$. &bdquo;To jsem věděl.&ldquo; (Od začátku vím, že součet mohl být 9 nebo 11.) &bdquo;Ale teď již znám čísla <u>m</u> a <u>n</u>.&ldquo; Pat: Když Mat věděl, že $m + n < 14$, odpadají možnosti 3 a 8, 4 a 7, 5 a 6, protože jejich součin lze rozložit i na činitele různé od 1 a sebe sama, jejichž součet je větší nebo roven 14. Zbývá možnost 2 a 9. &bdquo;Tedy i já znám obě čísla.&ldquo; ===Úloha č. 6=== ''Upravené podle J. Blažka'' Podle podmínky 1 si mohu seřadit obyvatele podle počtu vlasů: <table> <tr> <td align="left" >$Pořadové číslo obyvatele: $</td> <td align="center">$1 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$3 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$\cdots $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2500 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2501 $</td></tr> <tr> <td align="left" >$Počet jeho vlasů: $</td> <td align="center">$0 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$1 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$\cdots $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2499 $</td> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2500 $</td></tr> </table> Další sloupeček by měl být: $<table> <tr> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2502 $</td> <td align="center">$| $</td></tr> <tr> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2501 $</td> <td align="center">$|. $</td></tr> </table> $ Avšak to je ve sporu s třetí podmínkou. V zadání se neříká nic o tom, že by ve městě nemohl existovat občan s vyšším počtem vlasů než $2501$. V tabulce by to tedy muselo vypadat takto: $<table> <tr> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2502 $</td> <td align="center">$| $</td></tr> <tr> <td align="center">$| $</td> <td align="center">$2502 $</td> <td align="center">$|, $</td></tr> </table> $ což odporuje druhé podmínce. (Pořadové číslo obyvatele je 2502 proto, že nikdo nemá 2501 vlasů.) Pro jakýkoliv počet vlasů větší než 2501 už nebude splněna podmínka číslo dvě. Královské město má maximálně 2501 obyvatel (holohlavého, jednovlasého, ..., až 2500 vlasého). ''Komentář:'' Body se strhávaly hlavně za to, že nebylo ukázáno, proč nemůže mít někdo více než 2501 vlasů. ===Úloha č. 7=== Počet lidí, kteří pošlou peníze králi PIKOVI, je stejný jako počet dopisů, které budou odeslány s adresou krále na prvním místě. <table> <tr> <td align="left" >$Tedy: král na $</td> <td align="left" >$5. místě $</td> <td align="left" >$5 dopisů $</td></tr> <tr> <td align="left" >