Řešení 1. série 11.ročníku
Úloha č. 1
Komentář: Příklady tohoto typu lze řešit dvěma způsoby - soustavou rovnic (což možná někteří z vás neumí) nebo úvahou. Ale u špatně zadané úlohy úvaha selhává. Přesto existuje výborné, elegantní řešení, na které přišel jeden z řešitelů, Honza Blažek. Jako vzorové řešení uvádím právě to jeho. Jen jsem pozměnila komentář.
Označíme počet králíků K, počet slepic S a počet ryb R. O počtu hlav víme, že K + S + R = 100. O počtu nohou víme, že 4K + 2S = 100. Podle ceny sestavíme rovnici 5K + 3S + 2R = 320.
Levou stranu poslední rovnice rozepíšeme:
Tedy R = 120. To je ale ve sporu se zadáním (zvířat má být sto). Tedy úloha nemá řešení.
Úloha č. 2
Upravené podle Jakuba Mičaníka.
Označme si A cifru, kterou podvodník smazal a xyz zbytek jeho výdělku. Potom musí platit:
| A \cdot 1000 + xyz | = | 37 \cdot xyz |
| A \cdot 1000 | = | 36 \cdot xyz |
Z druhé rovnice je zřejmé, že A \cdot 1000 musí být násobek 36. Po vyzkoušení všech možností zjistíme, že jediné řešení, které vyhovuje, je A = 9. Podvodník tedy nepřiznal 9000 Rublarů a na dani musí doplatit 900 Rublarů.
Komentář: Tato úloha patřila k jednodušším úlohám a skoro všichni jste ji vyřešili správně. Body byly strhávány za chybějící postup. Pokud by vás zarazilo, že ve vzorovém řešení není spočítáno kolik podvodník celkově za rok vydělal, pak si stačí uvědomit, že v úloze jsme se ptali, kolik že má doplatit a ne kolik vydělal.
Úloha č. 3
Z Pythagorovy věty vypočteme poloměr kruhu r:
| r^{2} | = | \left( 2\over3 \cdot r \right)^{2} + 12^{2} |
| r^{2} | = | 9\over5 \cdot 144 |
| r | = | 36 \over \sqrt{5} = 36 \cdot \sqrt{5} \over 5 |
Obsah pole, které spásla koza tedy je:
| S_{1} | = | 1\over2 \pi \left( 2\over3 \cdot r \right){2} = 2\over9 \pi r{2} |
| S_{1} | \doteq | 181 m{2} |
Obsah celého pole je:
a obsah pole, na kterém druhý kupec sušil seno je:
| S_{2} | = | S - S_{1} |
| S_{2} | = | 1\over2 \pi r{2} - 2\over9 \pi r{2} = 5\over18 \pi r{2} |
| S_{2} | \doteq | 226 m^{2} |
Poplatek za 1 m^{2} louky byl 1 Rublar, tedy první kupec zaplatil 181 Rublarů a druhý 226 Rublarů.
Úloha č. 4
Někteří z Vás si špatně přečetli zadání a nevěděli, že magický čtverec 3 \times 3 má mít v každém čtverečku právě jedno z čísel 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Jaké budou součty čísel v řádcích, sloupcích a úhlopříčkách, zjistíme snadno. Součet čísel od 1 do 9 je 45. V magickém čtverci jsou tři řádky, tedy součet v každém bude 45 : 3 = 15. V každé řadě jsou tři čísla. Rozepíšeme si tedy číslo 15 na součet tří různých sčítanců. Jsou to tyto možnosti:
| 1+5+9 | 1+6+8 | 2+4+9 | 2+5+8 |
| 2+6+7 | 3+4+8 | 3+5+7 | 4+5+6 |
Každé číslo patří do některé řádky a některého sloupce, některá čísla patří navíc do jedné úhlopříčky a číslo uprostřed patří dokonce do dvou úhlopříček. (tabulka ukazuje kolikrát číslo na daném místě patří do trojice)
| 3x | 2x | 3x |
| 2x | 4x | 2x |
| 3x | 2x | 3x |
Z výpisu zjistíme, že pouze číslo 5 se vyskytuje 4x, pokaždé s jinými sčítanci. Je započteno ve sloupci, řádku a obou úhlopříčkách. Bude tedy uprostřed.
Čísla 2,4,6,8 se vyskytují 3x, v řádku, sloupci a jedné úhlopříčce. Budou tedy v rozích a to tak, aby protilehlé rohy dávaly součet 10 (společně s 5 pak dávají součet 15).
| 2 | $$ | 6 |
| $$ | 5 | |
| 4 | $$ | 8 |
Nyní již pouze doplníme čísla 1,3,7,9, která se vyskytují při rozepsání na sčítance právě ve dvou různých součtech, což odpovídá započítání do řádku a sloupce.
Vznikne jeden magický čtverec, jehož další správné varianty jsou jen otočení nebo výměna řádků za sloupce.
Správné řešení tedy je:
| 2 | 7 | 6 |
| 9 | 5 | 1 |
| 4 | 3 | 8 |
Komentář: Ten, kdo pouze napsal správný magický čtverec bez slůvka vysvětlení, obdržel 1 bod, pokud někdo dopředu určil, kolik mají být součty v řádcích (sloupcích, úhlopříčkách) 2 body. Každá další podnětná myšlenka byla ohodnocena patřičně body navíc.
Ve dvou řešeních bylo využito univerzálního klíče pro sestavení magických čtverců.
Úloha č. 5
Upravené podle Jana Hermana.
Když je v tomto sešitě nepravdivých právě n vět, pak jsou pravdivé všechny věty s pořadovým číslem 1, 2, ..., n a nepravdivé věty n+1, n+2, ..., 99, 100. Pravdivých vět je tedy také n (všechny s pořadovým číslem 1, 2, ..., n). Pravdivých i nepravdivých vět je tedy stejně, a to 50. Pravdivé jsou věty 1, 2, ..., 49, 50 a nepravdivé 51, 52, ..., 99, 100.
Úloha č. 6
Rozdělím si obrazec na několik častí (viz obrázek) a spočítám každou část zvlášť.
Vnitřní část typu A má obsah 43 čtverečků.
Dále použiji vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka:
kde S je obsah trojúhelníka, a strana, v_{a} výška.
Trojúhelník typu B má obsah 1 čtvereček. (1\over2 \cdot 2 \cdot 1 čtvereček )
Trojúhelník typu C má obsah 1\over2 čtverečku. (1\over2 \cdot 1 \cdot 1 čtvereček )
Trojúhelník typu D má obsah 1\over2 čtverečku. (1\over2 \cdot 1 \cdot 1 čtvereček )
Trojúhelník typu E má obsah 1,5 čtverečku. (1\over2 \cdot 1 \cdot 1 čtvereček )
Trojúhelník typu F má obsah 6 čtverečků (1\over2 \cdot 3\cdot 4 čtverečky ).
| Typ oblasti | Obsah | Počet | Celkový obsah | ||||||||||||||||
| $$ | $$ | $$ | (ve čtverečcích) | ||||||||||||||||
| |
|||||||||||||||||||
| A | 43 | 1 | 43 | ||||||||||||||||
| B | 1 | 2 | 2 | ||||||||||||||||
| C | 0,5 | 14 | 7 | ||||||||||||||||
| D | 0,5 | 4 | 2 | ||||||||||||||||
| E | 1,5 | 2 | 3 | ||||||||||||||||
| F | 6 | 1 | 6 | ||||||||||||||||
| |
|||||||||||||||||||
| celkem | $$ | $$ | 63 | ||||||||||||||||
| |
|||||||||||||||||||
| $$ | |||||||||||||||||||
Plocha bazénu je 63 čtverečků. Je-li délka hrany jednoho čtverečku 1 m, pak objem vody, kterou museli požárníci dovést, je 63 m^{3}, což odpovídá 7 cisternám (poslední však nemuseli dovést plnou).
Ale při jiných délkách vychází jiný počet.( např.: při délce hrany 10 m je potřeba 630 cisteren, při délce hrany 10 cm je potřeba pouze 1 cisterna atd.).
Úloha č. 7
Je potřeba si uvědomit, že místo požáru se nemusí shodovat s místem telefonátu. Nejdříve zjistíme, kdo volal, a na základě toho, kde hoří.
Mohou nastat tři situace:
1) Telefonoval člověk z Pravdic.
2) Telefonoval člověk ze Střídavé Lhoty.
3) Telefonoval člověk ze Lhářů.
1) Kdyby volal člověk z Pravdic:
Jestliže je první věta pravdivá, druhá odpověď by měla být „v Pravdicích“. Kdyby byla pravdivá druhá věta, nemohl by v první větě říci „u nás“.
Tedy nevolal člověk z Pravdic.
2) Kdyby volal člověk ze Střídavé Lhoty:
Kdyby byla první věta pravdivá, byla by pravdivá i druhá, a to je v rozporu s jednáním obyvatel Střídavé Lhoty (střídavě lžou a mluví pravdu). Kdyby byla první věta nepravdivá, byla by i druhá věta nepravdivá a to je opět v rozporu.
Nevolal člověk ze Střídavé Lhoty.
3) Kdyby volal člověk ze Lhářů:
První věta musí být lež, a proto nehoří ve Lhářích. Může hořet ve Střídavé Lhotě nebo Pravdicích. Protože i druhá věta je nepravdivá, nehoří ve Střídavé Lhotě.
Z toho vyplývá, že hoří v Pravdicích a požár oznámil člověk ze Lhářů.
Poznámka: V jednom řešení se vyskytla teorie „člověka na návštěvě“. Například člověk z Pravdic je ve Střídavé Lhotě. Soptík by tedy měl poslat hasiče do Střídavé Lhoty. Takto pochopená úloha nemá řešení, protože místo požáru nejde jednoznačně určit. Je to však zajímavý pohled na věc.
Úloha č. 8
Pouze jeden z vás si všiml, že libovolným rozlomením čokolády se zvětší počet odlomených dílků o jeden. Každá čokoláda se dá tedy lámat maximálně n-1 krát, kde n je počet dílků čokolády. Tedy po zhlédnutí čokolády si spočítám z kolika dílků celkem se čokoláda skládá. V případě, že ze sudého počtu, pak nezávisle na způsobu lámání vyhraje ten, kdo začíná, v případě lichého počtu lámání prohraje ten, kdo začíná, nezávisle na způsobu lámání.
Upozornění: Tato vzorová řešení vám mají pouze sloužit jako nápověda, případně vám mají vysvětlit náročnější části příkladů. Nemusí se vůbec jednat o řešení, za které by autoři museli získat plný počet bodů.
