Úloha č. 1

Aby šnek přelezl zídku, musí urazit celkem 220 cm (105+10+105). Výsledky šnekova snažení po:

**1. dnu**	$$	35	cm	**1. noci**	$$	15	cm	(, 20 cm spadl) $
**2. dnu**	$$	50	cm	**2. noci**	$$	30	cm
**3. dnu**	$$	65	cm	**3. noci**	$$	45	cm
**4. dnu**	$$	80	cm	**4. noci**	$$	60	cm
**5. dnu**	$$	95	cm	**5. noci**	$$	75	cm
**6. dnu**	$$	110	cm	**6. noci**	$$	110	cm
**7. dnu**	$$	145	cm	**7. noci**	$$	165	cm	(, 20 cm spadl dolu) $
**8. dnu**	$$	200	cm	**8. noci**	$$	220	cm

Šestý den vylezl šnek na zídku -- 105 cm a 5 cm po vršku zídky. Šestou noc tedy nikam nespadl.

Sedmý den lezl šnek 5 cm po vršku zídky a pak 30 cm při cestě dolů.

Malá Čarodějka se tedy vrátila domů devátý den ráno, tzn., že tábor trval osm dní.

Úloha č. 2

Řezy můžeme vést třemi způsoby, jak bylo popsáno v zadání. Přičemž je třeba si uvědomit, že nezáleží nijak na pořadí a je jedno, zda řežeme 7\times svisle nebo 7\times vodorovně.

Způsobem 7+0+0 jde nařezat 8 dílů.

Způsobem 6+1+0 jde nařezat 14 dílů.

Způsobem 5+2+0 jde nařezat 18 dílů.

Způsobem 4+3+0 jde nařezat 20 dílů.

Způsobem 5+1+1 jde nařezat 24 dílů.

Způsobem 4+1+2 jde nařezat 30 dílů.

Způsobem 3+3+1 jde nařezat 32 dílů.

Způsobem 3+2+2 jde nařezat 36 dílů.

Existuje tedy 8 možností, jak bochník rozřezat.

Úloha č. 3

Do místa A se dostaneme jedním způsobem, půjdeme-li na východ. Do místa B se dostaneme rovněž jedním způsobem, půjdeme-li na sever. Do místa C se dostaneme dvěma způsoby. Buď na sever, na východ nebo nejprve na východ, pak na sever. Je zde určitá závislost - číslo v horním pravém rohu jednotlivých obdélníků v plánku je součtem čísel v pravém dolním a levém horním rohu a udává počet možností, jak se do tohoto místa dostat. (Po chvilce přemýšlení přijdete na to, že to tak doopravdy je a proč.)

Od hlavní brány se dá k zadnímu východu projít 19 způsoby.

Úloha č. 4

Z deníčku byly vytrženy dva listy, což jsou čtyři stránky. Nejprve odhadneme aspoň přibližně, kolik měl deník stránek. Součet x po sobě jdoucích přirozených čísel je možno vyjádřit jako x(x+1)\over2. (Známá úloha jak sčítat řadu po sobě jdoucích čísel - sečteme první a poslední, druhé a předposlední; pokud si to zkusíte, odvodíte závislost). Protože známe součet stránek, víme, že platí x(x+1)\over2 > 1011 (větší proto, že do součtu nejsou započítány vytržené stránky). Z toho x>44. Protože byly vytrženy 4 stránky, stačí nám vyšetřovat případy, kdy měl deník 45, 46, 47 nebo 48 stránek.

Počet stránek	součet stránek	součet vytržených	S
45	1035	24
46	1081	70
47	1128	117
48	1176	165

Součet vytržených stránek je y+(y+1)+(y+2)+(y+3)=S. Jelikož výsledkem této rovnice musí být celá čísla, zjistíme, že jediným řešením je případ, kdy deník měl 46 stran a na dvou vytrhnutých listech byla čísla 16,17,18,19.

Úloha č. 5

Místo pracných pokusů, které řada z vás rýsovala, stačilo provést následující úvahu. Rozdělíme-li si čtyřúhelník ABCD na trojúhelníky ABC a ACD, pro oba musí platit trojúhelníková nerovnost, tzn., že součet libovolných dvou stran je větší než strana třetí. V trojúhelníku ABC se stranami 3 a 4 cm může být |AC| 1,2,3,4,5 nebo 6 cm, v trojúhelníku ACD se stranami 7 a 2 může být |AC| 6,7 nebo 8 cm. |AC| je tedy 6 cm, protože tato hodnota jako jediná vyhovuje oběma trojúhelníkům zároveň.

Úloha č. 6

Nejprve je třeba uvědomit si, jak vypadá pravidelný šestiboký jehlan. Podstavu tvoří šestiúhelník (ten může být buď modrý nebo červený), plášť je tvořen šesti trojúhelníky. Jednotlivé možnosti pro jejich vybarvení, tedy pro vybarvení pláště (symboly a,b užívané pro barvy znamenají buď modrou nebo červenou):

a) všechny stejné barvy aaaaaa 2 možnosti

b) jedna stěna jiné barvy abbbbb 2 možnosti

c) dvě jiné barvy

1) sousední aabbbb 2 možnosti

2) ob jednu stěnu ababbb 2 možnosti

3) protilehlé stěny abbabb 2 možnosti

d) tři jedné, tři druhé barvy

1) tři sousední stěny aaabbb 1 možnost

2) střídání barev ababab 1 možnost

3) (špatně popsatelné) abbaab 1 možnost

4) (špatně popsatelné) aabbab 1 možnost

(pozor, v případech 3,4 je třeba v obou případech zvolit za a stejnou barvu)

Celkem je tedy 14 možností, jak vybarvit plášť. Podstava může být buď modrá nebo červená, tedy 14 \cdot 2 = 28. Na táboře bylo tedy 28 dětí.

Úloha č. 7

V této úloze budeme postupovat „odzadu“.

Zbytek v truhle (100 dukátů) tvoří polovinu zbytku, z kterého bral nejmladší syn. Druhá polovina je samozřejmě taky 100. Nejmladší tedy dostal 100+800=900 dukátů.

Než si vzal z truhly nejmladší, bylo v truhle 1000 dukátů. (900+100 (zbytek)=1000).

''Třetí si tedy vzal''	$$	1000+400=1400
''V truhle předtím bylo''	$$	1400+1000=2400
''Druhý si vzal''	$$	2400+200=2600
''V truhle předtím bylo''	$$	2600+2400=5000
''První si vzal''	$$	5000+100=5100
''V truhle původně bylo''	$$	5000+5100=10100

Vzhledem k tomu, že 100 dukátů si Gláin vypůjčil, rozdělil tedy mezi své syny 10000 dukátů.

Úloha č. 8

Většina z těch, kteří úlohu řešili, věděla jak postupovat, ale neuvažovali možnost, že první týden zemřel drak, aniž by se nažral. Pak jim vyšlo, že 4960 princezen původně mělo stačit na 16 týdnů a při postupném odumírání draků stačilo na 31 týdnů. Pozor** 31 není dvojnásobek 16.

Sestavíme si tři tabulky, v jedné budeme zapisovat stav v jednotlivých týdnech, pokud by draci nevymírali, v druhé za stavu, kdy každý týden zemře jeden drak a první drak zemře nenažraný, ve třetí tabulce budeme předpokládat, že první drak se před smrtí ještě najedl. Zjistíme, že

A) První tabulka v patnáctém týdnu vykazuje stejnou hodnotu s druhou ve třicátém týdnu.

B) První tabulka v šestnáctém týdnu s třetí ve třicátém prvním týdnu.

Chybu v případě B) jsme ukázali v úvodu. Zbývá ověřit správnost možnosti A). Za třicet týdnů postupně vymírající draci spořádali první týden 300 princezen, druhý týden 290, ..., třicátý týden 10 princezen, celkem 4650 princezen. Pokud by draci nevymírali, princezny by vystačily na 4650:31=15 týdnů a 30 je doopravdy dvojnásobek 15.