Zadání 2. série 9. ročníku

Termín odelslání: 30. listopadu 1993

Adresa:9

Podzim pomalu končil. Venku proháněl severák spadané listí a mrazík zalézal za nehty. V chaloupce praskalo dřevo v krbu a Malá Čarodějka se pustila do studia magické síly čísla 100. Pokus se jí pomoci s těmito úkoly:

Úloha č. 1:

(a) Číslo 100 zapiš pomocí pěti stejných číslic. (b) Číslo 100 zapiš pomocí šesti stejných číslic. Najdi co nejvíce řešení tak, že doplníš pouze závorky a znaménka početních operací (+, -, \cdot , :).

Ač Malá Čarodějka počmárala celý list papíru výpočty, úlohy ne a ne vypočítat (někde slyšela, že prý je aspoň pět řešení). Aby se trochu odreagovala, vyčarovala si laserovou pistoli a začala laserem rozřezávat počmáraný list.

Úloha č. 2:

List papíru (obdélníkový) rozřezala několika laserovými paprsky (přímkami) na 100 menších obdélníků. Kolika paprsky nejméně to mohla udělat?

Druhý den navštívila Malá Čarodějka svou prapratetu babu Jagu.

Úloha č. 3:

Baba Jaga byla vyhlášená svým stádem stonožek a osmihlavých draků. Když u ní byla Malá Čarodějka naposledy, mělo celé stádo 100 hlav a 1000 nohou. Kolik nohou mohl mít osmihlavý drak? (Každá stonožka má 1 hlavu, všichni draci mají stejný počet nohou).

Když nastal večer, vyprávěla baba Jaga Malé Čarodějce o jejím praprastrýci černokněžníku Krutihlavovi a jeho nepříteli, čaroději SIU.

Úloha č. 4:

Ve vězení černokněžníka Krutihlava je 100 cel -- samovazeb, očíslovaných od 1 do 100. Všechny cely jsou obsazeny právě jedním vězněm. Cely mají speciální zámek -- při prvním otočení klíčem se dveře odemknou, při dalším otočení se uzamknou, pak se zase odemknou atd. Černokněžník při své svatbě s princeznou Dobromilou vyhlásil rozsáhlou 100-denní amnestii. První den otočil jednou klíčem ve dveřích všech cel, druhý den otočil jednou klíčem v každé druhé cele, třetí den v každé třetí cele, čtvrtý den v každé čtvrté cele a tak dále, až stý den otočil jednou klíčem jen v zámku sté cely. Pak odvolal stráže a vězňové, kteří měli odemčeno, mohli odejít -- byli svobodni. Z kterých cel mohli vězňové odejít a proč?

Úloha č. 5:

(povinná pro žáky 5., 6., 7. a 8. tříd)

Zlý čaroděj SIU se dokonale pomstil králi „Země sta měst“. Země sta měst se totiž pyšnila svým dokonalým dopravním spojením. Každé ze sta měst bylo spojeno silnicemi s ostatními městy tak, že každá dvě města byla spojena zvláštní silnicí. Veškeré křižování silnic bylo mimoúrovňové, takže se značně zjednodušila i pravidla silničního provozu. SIU ovšem ze všech silnic Království sta měst nadělal dopravním značením jednosměrky. Povedlo se mu to dokonale. Kdokoliv vyjel z libovolného města království, už se do něho nemohl vrátit, ledaže by porušil dopravní předpisy. Dokážeš přijít na to, jak to asi čaroděj SIU udělal?

Po zajímavém vyprávění baby Jagy musela Malá Čarodějka jít spát. Ráno ji čekala audience u krále Pika IX. Měla mu poradit, co s jeho dcerou Truculkou.

Úloha č. 6:

(povinná pro žáky 6., 7. a 8. tříd)

Princezna Truculka jednou vyvedla svému otci, králi Pikovi, takovýto žertíček: Vybrala z královské pokladny celou hotovost - 100 zlatých mincí, obula si mílové boty (co krok, to míle) a vyrazila po cestě do druhého království (dlouhé 100 mil). Přitom po každém kroku položila na zem jednu minci. Když to král zjistil, svolal svých 5 synů a přikázal jim jít za princeznou a mince z cesty posbírat. Doma však zůstaly jen samé zázračné boty: jeden pár dvoumílových (co krok, to dvě míle), jedny trojmílové, jedny čtyřmílové atd. (pro každé přirozené n jedny n-mílové, ale n \neq 1).
Poraďte princům, které boty si mají obout a odkud mají vykročit (nemusí všichni začínat na 1. míli), aby spolu posbírali všechny mince při cestě do druhého království (při cestě zpět už nesbírají).

Když Malá Čarodějka přiletěla k Pikovi IX., právě se jeho synové vrátili se všemi penězi, které Truculka rozházela. Král byl nadšen moudrostí svých synů a rozhodl se část peněz hned utratit, aby se mu zase neztratily. A tak se večer konal v rytířském sále velkolepý závod sta rytířů v pití piva.

Úloha č. 7:

(povinná pro žáky 7. a 8. tříd)

Závodu v pití piva se zúčastnilo celkem 100 rytířů. Malá Čarodějka přišla na to, že každý z nich se znal aspoň s 67 dalšími zúčastněnými. Dokažte, že mezi účastníky závodu je možné najít čtveřici, ve které se všichni navzájem znají.

Vítězem závodu se stal rytíř Smil Flaška a mohl si na svůj hrad Pardubice odvézt 1. cenu, kterou věnovala baba Jaga -- dračí vejce.

Úloha č. 8:

(povinná pro žáky 8. tříd)

Kolik stejných kulových dračích vajec o průměru 100 mm se vejde do krabice tvaru kvádru o rozměrech 100 cm \times 100 cm \times 10 cm ?