Řešení 4. série 9.ročníku

Úloha č. 1

Všem třem loupežníkům se líbí čísla, která jsou sudá, jednociferná a současně násobkem tří. Takové číslo existuje právě jedno: 6. Žádnému z loupežníků se nelíbí čísla lichá a dvouciferná, která nejsou dělitelná třemi. To mohou být pouze prvočísla mezi desítkou a dvacítkou: 11, 13, 17 a 19. Právě jednomu z nich se líbí čísla, která mají pouze jednu ze tří uvedených vlastností. To mohou být čísla 1, 5, 7 (jednociferná), 10, 14, 16, 20 (sudá), 15 (dělitelné třemi).

Úloha č. 2

Máme-li k očíslování stran 3389 číslic, může mít jednosvazková kniha nejvýše čtyřciferné strany, neboť: jednociferných stran je 9 a použijeme celkem 9 (1 - 9) číslic, dvouciferných stran je 90 (10 - 99) a na očíslování potřebujeme 180 číslic. Na trojciferné stránky, kterých je 900 (100 - 999), spotřebujeme 900\cdot3=2700 číslic. To už je dohromady 9+180+2700=2889 číslic. Do 3 389 ještě chybí 3 389-2 889=500 číslic. To už budou čtyřciferné stránky. Bude jich 500:4=125.
a) Počet stran v jednosvazkové knize je tedy 9+90+900+125 = 1124.

Pokud bude mít kniha 2 svazky, nemohou mít ani přibližně stejný počet stran, neboť: obě knihy by měly dohromady více než 1124 stran, ale každá zvlášť jistě méně než 1000 stran. Protože na jedno a dvouciferné stránky by se použilo dohromady (9 + 90 \cdot 2) \cdot 2 = 378 číslic, na trojciferné by zbývalo (3389-378)=3011 číslic. Jenže 3011 není dělitelné třemi (dvě zbydou), takže na poslední stránce jedné z knih by jedna číslice chyběla (nebo by bylo vše v pořádku, pokud by se nečíslovaly úvodní 1. stránky obou knih - někdy se to tak dělá).
b) Znamená to, že pokud má být kniha dvousvazková a počty listů obou svazků mají být co nejbližší, jedna z knih musí mít aspoň 1000 stran. Řešením je tedy jedna kniha s 1001 stranou a druhá s 200 stranami.

Úloha č. 3

a) Na obrázku jsou jen dva obdélníky ACDF a BCDE.
ACDF má obsah roven 54 cm^{2}, neboť: S_{ACDF} = |AC| \cdot |CD|,
S_{ACDF} = 9 \cdot 6 = 54 cm^{2}.
BCDE má obsah 18 cm^{2}, neboť: S_{BCDE} = |ED| \cdot |CD|,
S_{BCDE} = 3 \cdot 6 = 18 cm^{2}.

b) Trojúhelník AFE je polovina čtverce ABEF, má tedy i poloviční obsah, tj. 18 cm^{2}. S_{ABEF} = (|AC| - |ED|) \cdot (|AC| - |ED|),
S_{ABEF} = (9 - 3) \cdot (9 - 3) = 36 cm^{2},
S_{AFE} = 18 cm^{2}.

c) Trojúhelník ACE je polovina obdélníka ACDF, takže má obsah $36 cm^{2}$.

Úloha č. 4

Nejlepší je postavit věže na strany obdélníka. Tak se dá uvnitř vytyčit největší území. Přitom je nejvýhodnější postavit věže do tří vrcholů obdélníku. Území, které pak věže ohraničují, je polovinou obdélníku (jde to i tak, že na sousedních vrcholech obdélníka jsou jen dvě věže a třetí věž postavíme někde na protější straně obdélníku). Znamená to, že Trojúhelník III. neodhadl dobře situaci a přijde o jednu třetinu výhry.

Úloha č. 5

Označme si hledaný čas x. Pak platí:

Sluneční hodiny Děda Vševěda ukazují 7.30 hod.

Úloha č. 6

Sněhurka věděla, že jakýkoliv složený zlomek lze vždy upravit na jednoduchý zlomek s jen jednou zlomkovou čarou. Ten bude co nejmenší právě tehdy, když čitatel bude minimální a jmenovatel maximální. (Co nejmenší číslo dělíme na co nejvíce dílů). Z postavení čísel v zadání je zřejmé, že devítka bude vždy v čitateli (je úplně nahoře). Pokud se nám podaří rozmístit zlomkové čáry tak, že po úpravě na jednoduchý zlomek bude v čitateli jen 9 a ve jmenovateli součin zbylých čísel 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2, je toto řešení určitě minimální. A to se dá provést takto:

Někteří také hledali rozmístění zlomkových čar tak, aby výsledek byl maximální. Bohužel si všichni mysleli, že řešení bude opačné než v prvním případě, to znamená, že zlomkové čáry půjdou shora dolů od největší k nejmenší, ale není to pravda. Maximální řešení je:

Je zřejmé, že 8 musí být vždy ve jmenovateli (mezi 9 a 8 je zlomková čára). Největší výsledek pak vyjde, když bude čitatel maximální a to je právě, když tam je součin zbylých čísel.

Úloha č. 7

Ze čtyř různých číslic v, x, y, z se dá sestavit 24 navzájem různých čísel. Jejich součet je $vxyz + vxzy + vyzx + vyxz + vzxy + vzyx + xyzv + xyvz + xzvy + ... = 6 \cdot 1000 \cdot (v+x+y+z) + 6 \cdot 100 \cdot (v+x+y+z) + 6 \cdot 10 \cdot (v+x+y+z) + 6 \cdot (v+x+y+z) = 6666 \cdot (v+x+y+z)$. 147 031 je součet čísel. Platí tedy: $147 031 + vxyz = 6 666 \cdot (a+b+c+d)$. Nejbližší násobek čísla 6666 větší než 147031 je 153318. To jest 6666 \cdot 23. Další by byl 6666 \cdot 24, ale to je $147031 + 12953$ (což už je pěticiferné číslo). Úloha bude mít tedy řešení jen pro v+x+y+z = 23. Vyhovují pouze číslice 2,6,7,8.

Úloha č. 8

Pokud by trojúhelník existoval, musel by mít obsah:
$S = 0,5 \cdot a \cdot v_{a} = 0,5 \cdot b \cdot v_{b} = 0,5 \cdot c \cdot v_{c}$,
S = 0,5 \cdot 4a = 0,5 \cdot 7b = 0,5 \cdot 10c,
S = 2a = 3,5b = 5c.
Trojúhelník má tedy strany: a, b=4\over7 a, c=2\over5 a
Potom ale neplatí trojúhelníková nerovnost, neboť: $a > 4\over7 a + 2\over5 a$, a > b + c
To je spor s předpokladem, že takový trojúhelník existuje.