Zadání 1. série 8. ročníku

Termín odelslání: 15. listopadu 1992

Adresa:8

Expedice Pikomat 92 dorazila do oázy Al Džeber, výchozího místa svého putování. V sadě na okraji oázy dozrávala překrásná granátová jablka. Členové expedice neodolali pokušení.

Úloha č. 1:

Nejvíce kuráže měla jako vždy Eva a jako první utrhla jedno jablko. Další člen expedice utrhl dvě jablka a každý následující člen expedice utrhl vždy o jedno jablko více než ten předcházející. Potom se všichni, kdo trhali jablka, rozdělili mezi sebou rovným dílem a každý tedy dostal 6 granátových jablek. Kolik členů má expedice (všichni členové trhali jablka)?

Vládcem oázy byl velký mudrc a učenec Abú Ali Hasan, bez jehož pomoci by se expedice při své pouti přes poušť neobešla.

Úloha č. 2:

Kolik aut si minimálně máme od Abú Ali Hasana pronajmout, jestliže se chceme dostat naším autem přes poušť? Délka trasy je 6000 mil. Hasan má stejná auta jako je naše, to znamená, že každé auto má palivo na 3000 mil. Na delší cestu je třeba přečerpávat palivo z auta do auta. Za den auto ujede 1000 mil. Všechna pronajatá auta se musí v pořádku dostat zpět do oázy. Jak dlouho nám bude trvat cesta přes poušť? Navrhněte optimální způsob přepravy. Aut i paliva je v oáze dost -- jinde ne.

K Abú Ali Hasanovi se však nebylo možné jen tak dostat. Většinou byl velice zaneprázdněn soudními spory obyvatel oázy, takže by ho velice trápilo, kdyby měl ztrácet čas s nějakými hlupáky z ciziny, kteří obyčejně přijdou jen škemrat o pomoc. A tak Abú Ali Hasan po svém tajemníkovi Umarovi vzkázal členům Expedice, že je přijme a pomůže, když oni pomohou jemu s těmito soudními spory:

Úloha č. 3:

Umírající Abú el Salam si přál: jestliže se mé ženě Fatimě narodí syn, ať mu patří dvě třetiny jmění a zbytek ženě. Jestliže se narodí dcera, ať jí patří třetina a Fatima ať má dvě třetiny jmění. Narodila se však dvojčata - syn a dcera. Jak se má rozdělit jmění, aby se vyplnila nebožtíkova závěť?

Úloha č. 4:

Jak vyřešit závěť šejka Ibrahíma, který vlastnil v oáze území ve tvaru čtverce o straně 14 mil. Podle závěti se má území rozdělit mezi jeho 5 synů tak, aby každý syn získal opět území ve tvaru čtverce o straně 5 mil. Zbývající část území, vzniklá přesným vyměřením těchto čtverců, musí být těmito čtverci rozdělena na tolik dílů, kolik má Ibrahím dohromady manželek a dcer. Dcery nesmí dostat větší území než manželky, všechny dcery a všechny manželky musí být poděleny spravedlivě (jejich území musí mít stejný obsah). Kolik manželek a kolik dcer mohl mít Ibrahím? Je třeba narýsovat a zdůvodnit všechna řešení.

Úloha č. 5:

Nedávno se vrátila z pouště karavana. Tři hlavní postavy dalšího děje pojmenujme třeba Ahmad, Bahmad a Cuhmad. Ahmad nenáviděl Cuhmada a rozhodl se ho po cestě zavraždit. Jednou k večeru, když si postavili stany, nasypal mu jed do vaku s vodou. Byla to jediná zásoba vody, kterou měl Cuhmad s sebou. Nezávisle na tom se Bahmad rovněž rozhodl zavraždit Cuhmada a, aniž tušil, že voda v Cuhmadově vaku je otrávená, propíchl Cuhmadovi jeho vak, takže voda pomalu vykapala. Cuhmad za několik dnů zemřel žízní. Po návratu karavany se Ahmad i Bagdad ke svým činům přiznali. Kdo z nich však je vrahem Cuhmada? Nestačí jen rozhodnou, soud je třeba náležitě vysvětlit!