Úloha č. 16

Řada z vás si už zvykla na naše překlepy a to byla tentokráte chyba. Pokud jste usoudili, že Alena a Anna dohromady jedna jest, dostali jste se při řešení úlohy do problémů, neboť ceny jednotlivých dárků potom končily na „nebaťovské“ třetiny dolaru. Ty samozřejmě zaplatit nejdou, takže jste měli konstatovat, že úloha není řešitelná.

Pokud ale připustíte, že výjimečně o překlep nejde, tedy že existují jak Anna, tak i Alena, které Jiří také, ač nepatří do rodiny, dal dárek (který nestál ani dolar), potom úloha řešení má. Cena dárků pro rodinu bez ceny dárku pro Alenu je 304 dolary. Odtud lehce: dárek pro Evu stojí 304-254=50 dolarů, dárek pro Danu 304-296=8 dolarů. Petrův dárek byl za 304-263=41 dolarů. Anin dárek pak stál: 304-41-50-8=205 dolarů.

Úloha č. 17

Věk matky můžeme zapsat xy=10x+y. Podobně věk Dany je yx=10y+x. Odtud (10x+y)-(10y+x)=9x-9y=9\cdot(x-y). Věk matky při narození Dany byl dělitelný devíti, proto zákonitost 41 versus 14 mohla vůbec nastat. Pokud věky matky a dcery sečteme, získáme další zákonitost: (10x+y)+(10y+x)=11x+11y=11\cdot(x+y). Odtud můžeme tvrdit, že zákonitost se bude opakovat každých 11 let, dokud matce nebude více než 96 let nebo jedna z osob nezemře. Obdobně i druhá dcera může mít svůj věk provázán stejnou zákonitostí s věkem matky jako dcera první. Musí se jen narodit matce buď v 18, 27 či 36 letech, tedy dcerce je dnes 5, 14 nebo 23 let. V ostatních případech nemůže podobná souvislost mezi věky dcery a matky nastat.

Úloha č. 18

Pokud Petr i Pavel neodehráli stejný počet zápasů v turnaji, nejde určit, zda sehráli či nesehráli vzájemnou partii. V turnaji hrálo nejméně 8 hráčů, kdyby hrálo méně hráčů, nemohlo by se odehrát 23 partií (u 7 hráčů by se mělo odehrát (6+5+4+3+2+1)=21 zápasů). Kdyby turnaj hrálo devět hráčů, nemohl by Petr turnaj vyhrát, mohl by totiž spolu s Pavlem odehrát pouze 15-((8+7+6+5+4+3+2+1)-23)=2 partie. I kdyby je Petr vyhrál, zvítězí jiní. Při ještě větším počtu hráčů by odehrání 23 partií znamenalo, že ještě někdo další, kromě Petra a Pavla, nedohrál turnaj. To ovšem zadání úlohy vylučuje. Proto turnaj hrálo 8 hráčů. Neodehrálo se pouze 5 zápasů. Pokud Petr i Pavel odehráli shodný počet kol, zbývalo každému z nich dohrát stejný počet kol - tedy 3. Nutně musí tedy v posledních třech kolech odehrát vzájemný zápas (5 je liché číslo).

Úloha č. 19

Má-li být obsah čtverce 5, musí jeho strana měřit \sqrt{5}. Tři díly mohu získat např. dvojím střihnutím na vhodné síti krabice. Úsečku dlouhou \sqrt{5} získám tak, že budu stříhat po přeponě pravoúhlého trojúhelníka s odvěsnami 1 a 2. Existuje několik různých řešení. uvádíme dvě, získaná stříháním sítě krabice. Úlohu lze řešit i tak, že budu stříhat přímo krabici.

Úloha č. 20

Když je číslo dělitelné 15, musí být dělitelné 5 a 3. Proto na místě desítek hledaného čtyřciferného čísla bude buď 0 nebo 5. Číslo dělitelné 11 musí mít rozdíl součtu cifer sudých řádů a součtu cifer lichých řádů dělitelný 11. Na místě jednotek takovéhoto trojciferného čísla dělitelného 11 musí být číslice, která je dělitelná třemi (celé číslo má být dělitelné devíti, první trojčíslí je dělitelné 15, tedy i 3). Odtud již lehce najdete všech pět čísel, která odpovídají zadání: 6759, 7209, 7506, 7803, 8253.