Úloha č. 14
n-úhelníku, který má shodné úhlopříčky, lze opsat kružnici. (Pozn. autorky - toto není pravda). Daným bodem kružnice lze vést pouze dvě tětivy stejné délky. Z jednoho vrcholu n-úhelníka mohou tedy vycházet nanejvýš dvě úhlopříčky stejné délky. Tuto podmínku splňují jedině čtyřúhelník a pětiúhelník.
Úloha č. 15
Takový trojúhelník samozřejmě existuje, to, že nejde narýsovat na list papíru není důležité. Vezměme např. rovnoramenný trojúhelník ABC s hlavním vrcholem C. Výška v_{c} musí být zvolena tak, aby zbývající výšky nebyly větší než 1 cm, Rozměry v trojúhelníku mohou být např.: v_{c}=0,25 cm, c=801 m, v_{a}=v_{b} \doteq 0,5 cm
Úloha č. 16
a) Stačí 16 telefonátů. Označme zaměstnance 1,2,...,10. Potom si mohou zatelefonovat např. v pořadí: $10-9, 9-8, 8-7, 7-6, 6-5, 5-4, 4-3, 2-1, 4-2, 3-1, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10$. Neumíme dokázat, že menší počet hovorů nestačí. Pokud najdete lepší řešení, dejte nám vědět, budeme rádi.
b) Stačí použít podobný systém jako v případě a). Označíme zaměstnance 1 až 100. Telefonáty budou v tomto pořadí: $100-99, 99-98, 98-97, ..., 6-5, 5-4, 4-3, 2-1, 4-2, 3-1, 4-5, 5-6, 6-7, ..., 98-99, 99-100. Hovorů je 196$, na konci budou znát všichni všechny příměsi PIKO-COLY.
Úloha č. 17
a) Indiana Jones zhasne všechny lampy bez ohledu na to, kolik jich bylo na začátku rozsvíceno. Postupů je mnoho. Můžeme třeba ukázat, jak zhasne jednu lampu a budeme tvrdit, že takto - po jedné lampě - může zhasnout libovolný počet lamp.
1. mávnutí: má rozsvícenou 1 a 12 zhasnutých, po přepnutí obráceně 12 rozsvícených a 1 zhasnutou.
2. mávnutí: pro přepnutí vezme 6 rozsvícených a 7 zhasnutých, zbývá ještě 6 rozsvícených. Po přepnutí bude 7 rozsvíceno a 6 zhasnuto, celkem bude svítit 13 lamp.
3. mávnutí: všech 13 rozsvícených lamp zhasneme.
b) Na zhasnutí všech 111 lamp potřebuje Indiana Jones alespoň 9 mávnutí. Počty rozsvícených a zhasnutých lamp mohou být např.
| $$ | 1 | . mávnutí | $$ | 13 | Z | $$ | 98 | R | $$ | ||||||
| $$ | 2 | . mávnutí | $$ | 12 | Z | $$ | 1 | R | celkem | $$ | 24 | Z | $$ | 87 | R |
| $$ | 3 | . mávnutí | $$ | 12 | Z | $$ | 1 | R | celkem | $$ | 35 | Z | $$ | 76 | R |
| $$ | 4 | . mávnutí | $$ | 13 | Z | $$ | celkem | $$ | 48 | Z | $$ | 63 | R | ||
| $$ | 5 | . mávnutí | $$ | 12 | Z | $$ | 1 | R | celkem | $$ | 59 | Z | $$ | 52 | R |
| $$ | 6. - 9. | mávnutí | $$ | 13 | Z | $$ | celkem | $$ | 111 | Z | $$ | 0 | R |
Úloha č. 18
a) Jsou celkem tři řešení:
- 663,664,665
II. 117,118,...,131,132
III. 18,19,...,64,65
Další řešení nevyhovují podmínkám úlohy.
b) Úlohu b) řada z vás vůbec nezkusila. Variant na vytvoření nové úlohy je nekonečné množství, záleželo jen na vás.
