Úloha č. 5

a) Stačí vytáhnout 4 kuličky (když budeme mít smůlu, mohou být první 3 vytažené kuličky navzájem různobarevné).

b) Musíme vytáhnout 22 kuliček. Mohlo by se stát, že v prvních 21 vytažených kuličkách jsou jenom kuličky dvou barev. Tedy 10 bílých a 11 černých kuliček.

c) Stačí vytáhnout 11 kuliček, neboť bílých je pouze 10. Jedenáctá kulička tedy již nutně nemůže mít bílou barvu, když těch prvních deset je bílých.

d) Musíme vytáhnout 23 kuliček. Podívej se na b).

e) Nemůžeme zajistit jistotu žádným způsobem.

Úloha č. 6

Stačí 7 deček. Do díry vepíšeme pravidelný šestiúhelník. Šest deček umístíme tak, aby jejich středy splynuly se středy stran šestiúhelníka. Tyto dečky pokryjí celý obvod díry a část vnitřku. Zbytek zakryjeme sedmou dečkou, jejíž střed položíme na střed díry.

Zbývá dokázat, že 6 deček na pokrytí díry nestačí. Položme si otázku: Jakou největší část obvodu díry může pokrýt jedna dečka? Odpověď je zřejmá: oblouk zakrytý dečkou je největší tehdy, když jeho koncové body leží na průměru dečky. Tento oblouk je šestinou obvodu díry. Na pokrytí obvodu je potřeba alespoň 6 deček, přičemž 6 jich stačí jen v případě, že jsou uložené tak, jako ve výše popsaném řešení. Jenomže v tomto případě nezakrývají celou díru, tedy 6 deček na zakrytí nestačí.

Úloha č. 7

Chlapci vypili dohromady 8 litrů limonády, každý vypil tedy 8\over3 litrů limonády. Tomáš přinesl 5 litrů, z toho sám vypil 8\over3 litru a zbytek -- 7\over3 litru daroval Viktorovi. Péťa přinesl 3 litry, z nich vypil 8\over3 litru a zbytek -- 1\over3 litru daroval Viktorovi. Tomáš tedy daroval Viktorovi 7\times víc limonády než Péťa. Proto má Tomáš dostat 7\times víc peněz než Péťa. Dostane tedy 7 Kčs a Péťa dostane 1 Kčs.

Úloha č. 8

Je lepší začít házet dvoukorunou nebo pětikorunou?

Pokud vhazujeme dvoukoruny, číslo na obrazovce roste takto: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...

Při vhazování pětikorun se číslo mění takto: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

Začneme vhazovat tedy dvoukoruny, neboť číslo se přičítáním mění zpočátku rychleji, je dobré hrát s co největším počtem mincí, s každou vhozenou roste zisk. Naše možnosti ukazuje tabulka:

počet dvoukorun	-	2	5	7	10	12	15	17	20
počet pětikorun	8	7	6	5	4	3	2	1	-
konečný stav	256	896	<u>1024</u>	704	496	296	184	104	61
vhozené mince	40	39	40	39	40	39	40	39	40
zisk	216	857	<u>984</u>	665	456	257	144	65	21

Největší možný zisk je tedy 984 Kčs.