Zadání 1. série 6. ročníku

Termín odelslání: 30. října 1990

Adresa:6

Když se princ Jiří dlouho nevracel, Piko IV. naprosto rezignoval na své královské povinnosti a raději jezdil po světě a v radovánkách se snažil zapomenout na svízelnou situaci doma.

Právě měl velkou naději zvítězit v Bagdádu na Turnaji králů v šachu, když dostal od hvězdopravce Pikomága depeši. Symbol Pikolandu souhvězdí Stříbrné (pěticípé) hvězdy náhle přišlo o Hlavní hvězdu, takže na nebi zářil v noci již jen lichoběžník.

Úloha č. 1:

Může mít lichoběžník strany s délkami 5,5,6,8 ? Které z těchto hodnot jsou pak délkami základen? Najděte všechna řešení. (Stříbrná hvězda nemusela být pravidelná.)

Současně s Pikem, kterého depeše donutila „přerušit dovolenou a vrátit se domů“, odstoupil z turnaje též šach El Salám, který se stal obětí vlastního rozkazu. Ve městě Mudrců, jehož byl občanem a vládcem, se vyskytla nevěra. Proto vydal ferman, ve kterém nařídil všem mudrcům (všichni muži ve městě byli mudrci, každý z nich věděl všechno na světě kromě toho, zda je mu jeho vlastní žena věrná či nikoliv, a na to by se styděl kohokoliv ptát), aby v den, kdy zjistí nevěru své ženy, ji vlastní rukou popravili. Když byl ferman v platnosti 14. den, vykonali všichni podvedení mudrci včele s šachem popravu svých žen.

Úloha č. 2:

Kolik bylo popraveno ve Městě Mudrců nevěrných žen? Aneb: Jak přišel šach na to, že je jeho žena nevěrná (v přítomnosti šacha směl mluvit jen ten, kdo byl tázán)?

Odchodem favoritů turnaje ztratil turnaj na zajímavosti a program dostal vážné trhliny. Pořadatelé naštěstí zbývajícím hráčům dopřáli novou hru. Věnovali závratnou sumu tomu, kdo vyřeší následující problémy s mincemi. Zkuste si i vy:

Úloha č. 3:

Na stole leží mince. Minci obrácenou lícem nahoru označíme L, minci rubem nahoru R. Smíme obracet vždy čtveřici sousedních mincí najednou. Máme docílit, aby po nějakém obracení byly všechny mince na stole obráceny rubem navrch. A to v těchto dvou případech:
(a) RLRLLRL
(b) LRLLLRLR

Všichni zbývající panovníci šachový turnaj dokončili. Celkem se v turnaji odehrálo 23 partie. I když Piko IV. a El Salám zbytek neodehraných partií prohráli kontumačně - soupeřům se psala výhra (za výhru je v šachu 1 bod, za remízu 0,5 bodu a za prohru 0 bodů; za vzájemnou kontumaci je pro oba soupeře 0 bodů) - turnaj králů společně vyhráli.

Úloha č. 4:

Sehráli Piko IV. a El Salám vzájemnou partii nebo byla pro jejich vzájemnou neúčast partie obou kontumována? Kolik hrálo turnaj hráčů a jak asi mohla vypadat konečná turnajová tabulka, když se hrál turnaj systémem každý s každým jednu partii? Piko a El Salám v turnaji odehráli stejný počet partií.