Úloha č. 13

Protože do cíle opice donesly každá stejně a dohromady 33 ořechů, musí být tato suma (tj. 33 ořechů) dělitelná počtem opic. 33 má celkem čtyři dělitele -- 1,3,11,33. Čím více bylo opic, tím více ořechů rozházely. Každá ale také přinesla do cíle méně ořechů. Protože ale do cíle donesly opice vždy 33 ořechů, zajímá nás jen, kdy bude co největší počet rozházených ořechů, čili kolik nejvíce mohlo soutěžit opic. To je 33. Každá opice hodila po každé právě jeden ořech (na sebe pochopitelně neházela), každá tedy původně nesla 33 ořechů. Ořechů celkem bylo 33 \times 33, rozházených jich tedy bylo $33 \times 33 - 33 = 1056. Největší ztráta může být 1056$ ořechů.

Úloha č. 14

Je jedno, jaká čísla použiji, rozhoduje pouze to, zda jsou sudá či lichá, mohu uvažovat třeba jen 1 a 0. Nejdelší řadu mohu vytvořit z 33 čísel zapsaných takto:

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.

Tato řada vyhovuje první podmínce, tj. 17 čísel sečtených za sebou dá vždy sudé číslo. I druhá podmínka je splněna: součet 18 čísel po sobě je zase liché číslo. Pokud bych chtěl řadu rozšířit, tak už pro 34 čísel alespoň jedna z podmínek neplatí (zkuste si to dokázat).

Úloha č. 15

Řešení existuje celá řada. Stačí použít poměrně jednoduchou úvahu. Původně jsem měl přijít do školy 8 minut před zvoněním. Jestliže se vrátím domů, ztratím 18 minut, neboť přijdu do školy 10 minut po zvonění. Na cestu domů a zpět na místo, kde jsem, tedy potřebuji 18 minut. Při cestě z domova jsem tedy již ušel devět dvacetin celé cesty, neboť jsem na cestě 9 minut a celá cesta trvá 20 minut.

Úloha č. 16

Můžeme třeba provádět řezy melounu kolmé k podložce, na které meloun leží. Při pohledu shora dolů (půdorys), můžeme celou situaci znázornit třeba takto:

Části 1,2,3,4,5,6, mají jednu „kůrku“ (i když ji celou na obrázku nevidíte) a část 7 má kůrky dvě (jednu na horní polovině melounu, kterou vidíte a druhou na té spodní polovině, kterou se dotýká podložky). Ke kompletnímu řešení patřila úvaha o tom, kolik částí melounu může vůbec pomocí tří rovných řezů vzniknout a za jakých okolností. Zkuste si tuto úvahu dodatečně udělat.