Úloha č. 9
a)
Naznačené vztahy si vyjádříme rovnicí (j - jablko, h - hruška, s - švestka.)
Platí:
| 3j+1h | = | 20s | |||||||||||||||||
| 1j+12s | = | 1h | |||||||||||||||||
| 3j+1j+12s | = | 20s | |||||||||||||||||
| 4j | = | 8s | |||||||||||||||||
| 1j | = | 2s | |||||||||||||||||
| |
|||||||||||||||||||
| 2s+12s | = | 1h | |||||||||||||||||
| 1h | = | 14s | |||||||||||||||||
| |
|||||||||||||||||||
$$
Jednu hrušku vyváží čtrnáct švestek.
b)
Označíme si (c - kuřata, k - kachny, h - husy). Zapíšeme známé vztahy:
| 3c+1k | = | 2h |
| 1c+2k+3h | = | 25 |
Nyní například první rovnici vynásobíme třemi, druhou dvěma a dosadíme do druhé rovnice počet hus.
| 9c+3k | = | 6h |
| 2c+4k+6h | = | 50 |
| 2c+4k+9c+3k | = | 50 |
| 11c+7k | = | 50 |
Získali jsme ze soustavy dvou rovnic o třech neznámých jednu rovnici o dvou neznámých. Pokusíme se omezit její řešení, abychom nemuseli zkoušet každé číslo. Kachna určitě stojí aspoň jeden dolar, protože jinak by muselo platit 11c=50 a tato rovnice v množině přirozených čísel nemá řešení. Jestliže tedy kachna stojí nejméně jeden dolar, platí $11c \leq 50, tedy c \leq 4$. Dosadíme-li postupně za počet kuřat čísla od jedné do čtyř, zjistíme, že naší rovnici odpovídá c=2, k=4. Dosadíme do rovnice 6h=9c+3k, potom h=5.
Kuře stojí 2 dolary, kachna 4 dolary a husa 5 dolarů.
Úloha č. 10
Zvolíme si jednu kuličku (např. bílou) za stabilní. Umístíme ji např. nahoru. Další barevnou kuličku můžeme umístit pouze dvěma způsoby:
Více možností umístění není! Všechny ostatní lze převést na jednu z těchto možností buď otočením nebo překlopením chrastítka. Zbývající tři kuličky můžeme kombinovat celkem šesti způsoby.
Dohromady je tedy 6 \times 2 = 12 různých typů chrastítek.
Úloha č. 11
Nejvýhodnější je do podniků vložit malé částky. Ukážeme si, že není nejlepší vložit vše do podniku F s největším ziskem. Na to, aby byl zisk roven vloženému kapitálu, musíme do jednotlivých podniků vkládat takto: A-1, B-4 C-9, D-16, E-25, F-36. Celkem investujeme a získáme 91 jednotek kapitálu. Když přidáme 9 jednotek ke kapitálu vloženému do podniku D, zisk se zvýší na 95 jednotek. To je také největší zisk, kterého Pikomatko může dosáhnout. Pokud by existovaly i jednotky menších řádů, největšího možného zisku dosáhne Pikomatko takto: A-1, B-5 C-10, D-18, E-27, F-39, a sice přibližně 95,3803.
Úloha č. 12
Oštěp dlouhý 172 cm mohou pašeráci vyvézt za hranice v zavazadle tvaru krychle o délce hrany 1 m, uloží-li jej ve směru tělesové úhlopříčky krychle. V kvádru: u_{t} = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, v krychli tedy u_{t}=\sqrt{3a^{2}}, pro a=1 m platí u_{t}=\sqrt{3} m > 1,72 m. Zavazadlo nemusí být nutně tvaru krychle, mohl by to být například i kvádr o hranách 99,8 cm, 99,9 cm a 100 cm, ale musíme uvážit, že každý oštěp má určitou šířku, tedy že naše řešení jsou spíše teoretická.
