Úloha č. 1
Pro lichoběžníky se stranami 8, 6, 5, 5, existují právě 4 případy:
a) Tento lichoběžník lze sestrojit, neboť lze (podle trojúhelníkové nerovnosti) sestrojit trojúhelník AED se stranami 5, 5, 2.
b) Též lze sestrojit. Lze totiž sestrojit (podle trojúhelníkové nerovnosti) trojúhelník se stranami 5, 3, 6.
c)Tento lichoběžník sestrojit nelze. Protože pro trojúhelník AED se stranami 8, 5, 1 není splněna trojúhelníková nerovnost (trojúhelník nejde sestrojit).
d) Nejde sestrojit lichoběžník. Neexistuje trojúhelník AED se stranami 8, 6, 0.
Úloha má dvě řešení: lichoběžníky na obr. a) a b), lichoběžníky se základnami 8, 6 a 8, 5.
Úloha č. 2
Kdyby El Salám v době vydávání fermanu nevěděl o žádné nevěrné ženě ve městě, nemusel by vydávat ferman, neboť by okamžitě pochopil, že jediná žena ve městě, která může být nevěrná, je ta jeho (mudrc ví všechno, kromě toho, zda je mu jeho žena věrná), o všech ostatních ženách dobře věděl, že jsou věrné. Po vydání fermanu by musel okamžitě jít svou ženu popravit - zemřela by tedy hned první den platnosti fermanu. Stejně by se musel zachovat kterýkoliv mudrc, který by neznal žádnou nevěrnou ženu ve městě. Kdyby byla ve městě 1 nevěrná žena, zemřela by první den. Kdyby byly ve městě 2 nevěrné ženy: mudrcové věrných žen by zaujali vyčkávací pozice a čekali na popravy nevěrných žen (znají dvě). Muž nevěrné ženy zná právě 1 nevěrnou ženu (toho druhého klamaného mudrce), právem očekává, že muž této ženy (protože podle něj nezná žádnou nevěrnou ženu) ji ještě v 1. den platnosti fermanu zabije. Protože to však ten druhý neudělal, je to tím, že ten druhý zná také nějakou nevěrnou ženu, kterou ovšem ten 1. mudrc nezná, a to může být jenom žena 1. mudrce. 2. mudrc uvažuje podobně. Druhý den vědí oba, aniž by se museli kohokoli ptát, že ještě tento den musí své ženy popravit. Podobně: jestliže se popravy konaly 14. den platnosti fermanu, bylo popraveno 14 nevěrných žen. El Salám, když zjistil 13. den od vydání fermanu, že ve Městě mudrců nedošlo k popravám 13 nevěrných žen, které znal (zkuste si sami odvodit, proč by zemřelo 13 žen 13. den a jak na to měli mudrci přijít), pochopil, že i on má nevěrnou ženu.
Úloha č. 3
Případ a)
RLRLLRL
RRLRRRL
RRRLLLL
RRRRRRR
Případ b) nelze. Zápis LRLLLRLR obsahuje 5 písmen L. Aby zbyla jenom písmena R, musíme počet L upravit na 4.
Zdůvodnění:
- otočením skupiny LRLR vznikne RLRL - počet L se zachovává
- otočením LLLR či RLLL přechází na RLLL či RRRL - lichý počet L se zachovává
- podobně při otočení LLLL či RRRR.
Úloha č. 4
Turnaj nemohlo hrát méně než 8 hráčů (odehrálo by se 21 zápasů) a více než 9 hráčů (při vyšším počtu účastníků při odehrání 23 zápasů by se musely kontumovat jak zápasy Pika a El Saláma, tak i zápasy dalších hráčů - dokažte si početně). Kdyby hrálo turnaj 9 hráčů a odehrály všechny plánované partie, bylo by jich celkem 36. Kontumováno by bylo tedy 13 partií Pika a El Saláma. Každý z nich měl hrát 8 zápasů, takto odehráli pouze 2 partie každý (z toho jednu společnou). V turnaji měli oba zvítězit, ale na to by jim 1,5 bodu nestačilo, další hráči by získali více bodů. Zbývá ukázat, že turnaj mohlo hrát pouze 8 hráčů, že Piko a El Salám mohli vyhrát, a že společnou partii mezi sebou nehráli. Každý z nich získal ve svých 4 odehraných partiích vítězství a celkem 4 body.
