Úloha č. 9

a) Každé čtyřciferné číslo se stejnými ciframi je možné zapsat ve tvaru $a \cdot 1111, kde a je cifra 1-9. Platí 1111=11\cdot101$, tedy čtyřciferné číslo se stejnými ciframi je nutně i násobkem 101, což je prvočíslo. Pokud tedy platí a\cdot1111=b\cdotc pro nějaká čísla přirozená b,c, musí alespoň jedno z nich být násobkem prvočísla 101, tedy musí být aspoň trojciferné. Nemohou být tedy obě čísla b,c dvojciferná, což jsme měli dokázat.

b) Všech možností je 46, tady jsou:

1 \cdot 1111 = 1111 $$ 1 \cdot 5555 = 5555 $$ $$ 1 \cdot 8888 = 8888
11 \cdot 101 = 1111 $$ $$ 5 \cdot 1111 = 5555 $$ $$ 2 \cdot 4444 = 8888
2 \cdot 1111 = 2222 $$ $$ 11 \cdot 505 = 5555 $$ $$ 4 \cdot 2222 = 8888
1 \cdot 2222 = 2222 $$ $$ 55 \cdot 101 = 5555 $$ $$ 8 \cdot 1111 = 8888
11 \cdot 202 = 2222 $$ $$ 1 \cdot 6666 = 6666 $$ $$ 11 \cdot 808 = 8888
22 \cdot 101 = 2222 $$ $$ 2 \cdot 3333 = 6666 $$ $$ 22 \cdot 404 = 8888
1 \cdot 3333 = 3333 $$ $$ 3 \cdot 2222 = 6666 $$ $$ 44 \cdot 202 = 8888
3 \cdot 1111 = 3333 $$ $$ 6 \cdot 1111 = 6666 $$ $$ 88 \cdot 101 = 8888
11 \cdot 303 = 3333 $$ $$ 11 \cdot 606 = 6666 $$ $$ 1 \cdot 9999 = 9999
33 \cdot 101 = 3333 $$ $$ 22 \cdot 303 = 6666 $$ $$ 3 \cdot 3333 = 9999
1 \cdot 4444 = 4444 $$ $$ 33 \cdot 202 = 6666 $$ $$ 9 \cdot 1111 = 9999
2 \cdot 2222 = 4444 $$ $$ 66 \cdot 101 = 6666 $$ $$ 11 \cdot 909 = 9999
4 \cdot 1111 = 4444 $$ $$ 1 \cdot 7777 = 7777 $$ $$ 33 \cdot 303 = 9999
11 \cdot 404 = 4444 $$ $$ 7 \cdot 1111 = 7777 $$ $$ 99 \cdot 101 = 9999
22 \cdot 202 = 4444 $$ $$ 11 \cdot 707 = 7777 $$ $$ $$
44 \cdot 101 = 4444 $$ $$ 77 \cdot 101 = 7777 $$ $$ $$

$$

Úloha č. 10

Danými prostředky lze narýsovat čtverec nejméně za 8 trestných bodů. Narýsujeme k_{1} a zvolíme na ní libovolně S. Z něho opíšeme k_{2}. Jeden z průsečíků k_{1} a k_{2} označíme Q. Z něho opíšeme k_{3}. Získáme body A,C jako průsečíky k_{3} s k_{1} a s k_{2}. Průsečíky kružnic k_{1} a k_{2} vedeme přímku p. Ta nám protne k_{3} v B,D. Dokončíme úlohu spojením bodů AB,BC,CD,DA.

Úloha č. 11

Předpokládejme, že bronzovou skříňku vyrobil lhář. Pak také nápis na ní by byl nepravdivý. To by znamenalo, že aspoň dvě skříňky musel udělat pravdomluvný, a to by musela být skříňka zlatá a stříbrná. To ale není možné, neboť prsteny nemohou podle zadání úlohy být najednou v obou skříňkách. Proto bronzová skříňka je ve skutečnosti dílem pravdomluvného. Takže výrok na ní je pravdivý a aspoň dvě ze skříněk jsou dílem lháře. To znamená zlatá a stříbrná. Výroky na těchto skříňkách jsou tedy nepravdivé a prsteny jsou v bronzové skříňce.

Úloha č. 12

Jestliže každá princezna bude znát pouze 3 prince, bude celkem $15 \cdot 3=45$ známostí. Aby bylo princů co nejméně, musí se znát každý s co největším počtem princezen. Tedy s 9 princeznami. 45:9=5. Na svatbě mohlo být tedy nejméně 5 princů. Kdyby ale princezny každá znala co nejvíce princů, tedy 6, bylo by celkem 6\cdot15=90 známostí. Pokud by princů mělo být co nejvíce, měl by každý princ mít známostí co nejméně: 90:4=22,5. Na svatbě mohlo být tedy nejvíce 22 princů (musíme zaokrouhlit dolů, neboť pro 23 princů by vycházelo méně než čtyři známosti, což neodpovídá zadání úlohy).

Dobrovolné úlohy -- vánoční balení:

1) Chlapci nemusí být dvojčata, mohou to být třeba trojčata, čtyřčata, ...

2) Je to možné: 1200\over50 - 1000\over250 = 20.