Úloha č. 1

Honza vypije: $1 + 25\over26 + 25^{2}\over26{2} + ... + 25^{9}\over26{9} \doteq 8,43533160 \doteq 8,44$ litrů vína. Jednotlivé dny:
1. první den vypije 1 litr vína.
2. den vypije jednu šestadvacetinu ze zbytku vína v sudu, tj. z 25 litrů vína, tedy 25\over26 litru vína.
3. den vypije opět jednu šestadvacetinu ze zbytku vína v sudu, tj. z 24 1\over26 l vína, tedy z 625\over26 l vína, čili vypije 1\over26 z 25^{2}\over26 l vína, tj. 25^{2}\over26^{2} litrů vína. Každý další den vypije vždy jednu šestadvacetinu ze stávajícího množství vína v sudu. Hluboce se omlouváme všem znalcům vína za formulaci úlohy.

Úloha č. 2

Pro jednoduchost budeme šněrovat botu netradičním způsobem. Budeme provlékat pouze jeden konec tkanice (viz jehla s nití). Proto musíme začít v pravé nebo levé horní dírce a to zvenku dovnitř. Nyní máme 8 možností kudy ven. Poté musíme tkanici prostrčit dovnitř dírkou na témže „řádku“. Zbývá nám 6 možností, kudy opět ven. Jednu z nich zvolíme a musíme pokračovat na témže řádku dovnitř. Zbývají 4 možnosti, jak se dostat ven. Postup opakujeme, nakonec zbudou jen 2 možnosti a po protažení zbývajícím řádkem vyvlékneme tkanici zbývajícím prázdným horním otvorem ven.

Počet způsobů zavázání sedmimílové boty udává součin všech možností rozhodování: 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 768. Ti, kteří uvažovali, zda se tkaničky kříží nad či pod, mohli dospět k mnohem vyššímu počtu možností.

Úloha č. 3

Jiřík se potřebuje dostat do vzdálenosti X od břehu, ze které doplave ke břehu dřív, než tam drak z protější strany doběhne. X musí být menší než 0,3925 průměru jezera, aby ho drak nedoběhl. Za čas, který potřebuje drak na běh na protější stranu jezera (1,57 \cdot d), uplave Jiřík čtvrtinu této vzdálenosti (0,3925 \cdot d). Jak se ale dostat za tuto hranici záchrany? Nemůžeme se spoléhat na to, že zlý drak je hlupák a že to vzdá sám dobrovolně. Vždyť v sázce je Jiříkův život. Pokud bude Jiří v jisté vzdálenosti Y od středu plavat po kružnici se středem ve prostředku jezera, bude drak na břehu s vypětím všech sil udržovat nejmenší vzdálenost mezi sebou a Jiříkem (drak, Jiřík a střed jezera budou na přímce). Pokud Jiří poplave po soustředné kružnici s výše popsanou, která bude mít poloměr menší než Y, začne se drakovi vzdalovat. Lehce pak dosáhne pozice, kdy bude s drakem na jedné přímce, ale střed jezera bude na téže přímce mezi nimi. Jde o to , zda existuje takový poloměr kružnice menší než Y, aby byl Jiří pohybující se po této kružnici již za hranicí záchrany (byl blíže ke břehu než je X). Výpočet Y: poloměr jezera : 4 =0,25r=0,125d. Hranice záchrany měřeno od středu jezera: 0,5d-0,3925d=0,1075d. Protože Y je větší než poloměr hranice záchrany, je Jiříkova záchrana možná. Jakýmkoli způsobem doplave ze středu jezera za hranici záchrany (může plavat klidně drakovi naproti), potom kroužením po kružnici o poloměru menším než je Y získá potřebnou pozici (drak, střed jezera a Jiří jsou v daném pořadí v přímce) a bez obav o svůj život vyrazí přímo ke břehu.

Úloha č. 4

Číslo 1000 začneme libovolně rozkládat na sčítance. Při sledování velikosti součinu všech sčítanců rozkladu dojdeme k poznání, že sčítanců bude velmi mnoho: např. místo 50 je lépe použít dva sčítance 25 a 25. Místo každé 25 můžeme brát třeba 10 a 15 (10\cdot15 je víc než 25). Místo 10 je lépe vzít dvě 5 (5\cdot5 je víc než 10). Místo 5 je lépe vzít 2 a 3 (2\cdot3 je víc než 5). To je zároveň nejlepší rozklad pro 5. Dá totiž největší součin. Jak je to s rozkladem nejmenších přirozených čísel?
2 nejde rozložit na sčítance tak, aby jejich součin dal více než dvě.
3 nejde rozložit z podobných důvodů.
4 je možno nahradit dvěma 2, hodnota součinu je ale právě 4.
5 viz výše.
6 jde rozložit na 2+2+2 či 3+3, lepší je druhá možnost, neboť 3\cdot3=9, kdežto 2\cdot2\cdot2=8.
Další čísla můžeme vždy rozložit na jistý počet trojek a dvojek, přičemž dáváme přednost trojkám.
Číslo tisíc rozložíme tedy na 332 trojek a dvě dvojky (místo nich můžeme vzít jednu čtyřku). Součin 2^{2} \cdot 3^{332} je maximální.