Úloha č. 5

První loupežník rozdělí kořist na 3 díly. Druhý a třetí si vyberou ten, který se jim zdá být největší. Pokud si vyberou různé díly, zbylý díl dostane první loupežník. (Pokud si vyberou stejný díl, musí jej jeden z nich rozdělit na 2 stejné části a druhý si vybere tu, která se mu zdá být větší.) U zbývajících dvou dílů musí tito dva opět označit ten, který se jim zdá být větší. Když se shodnou, opakují postup v závorce. Pokud se neshodnou, musí se každý z nich rozdělit s prvním loupežníkem tak, že opakují postup v závorce.

Úloha č. 6

Obdélník můžeme rozřezat třemi způsoby:
a) řez spojuje sousední strany: vznikne trojúhelník a pětiúhelník, jejich složením můžeme dostat nejméně čtyřúhelník, nikdy trojúhelník.
b) řez spojuje protilehlé strany: vzniknou dva čtyřúhelníky skládáním nastane podobná situace jako v a)

c) řez spojuje vrchol s některou stranou: vznikne trojúhelník a čtyřúhelník (7 vrcholů, složením lze 4 ztratit), jejich složením může vzniknout trojúhelník.

Mohou nastat tyto případy: |AE|=|DC|, |AD|=|DC|, |AE|=|ED|, |ED|=|DC|. Pokud D bude na straně BC, může nastat |DC|=|BD|.
Případ |ED|=|DC|: Trojúhelník AED otočíme kolem D, dostaneme trojúhelník FDC, D zůstane na místě, E splyne s C. Součet úhlů u vrcholu D je přímý a po otočení bude stejný. Úhly u vrcholů E a C jsou pravé, jejich „přiložením“ vznikne úhel přímý. ABF je tedy jistě trojúhelník.
Podobně zjistíme, že trojúhelník vznikne při |DC|=|DB| a nevznikne |AE|=|DC|, |AD|=|DC|, |AE|=|ED|.

Úloha č. 7

Podle textu úlohy sestavíme tyto rovnice: V=I+1, N+V=48, N+C=52, V+A+C+I+P+N=151. Víme, že V není manžel I (rozdíl věků není 5). V není manžel N (48-5=43 a 43 není dělitelné dvěma) a ze stejného důvodu není C manžel N. Manželské páry jsou tedy tyto: V=A+5, C=I+5, P=N+5. Řešením soustavy rovnic dostaneme: Václav 26 a Anna 21. Petr 27 a Natálie 22. Cyril 30 a Irena 25.

Úloha č. 8

V šachu se v každé partii rozděluje 1 bod. Poslední tři si ve vzájemných partiích rozdělili 3 body, a tedy i v zápasech proti prvním x-3 hráčům získali dohromady 3 body. V těchto 3x-9 partiích tedy x-3 prvních hráčů „bralo“ 3x-9-3=3x-12 bodů a přesně tolik si museli rozdělit ve vzájemných partiích. Tak dostaneme rovnici pro neznámý počet hráčů x: (x-3) \cdot (x-4) \over 2 = 3x-12, která má dva kořeny: x_{1}=4, x_{2}=9.
Kořen x_{1} nevyhovuje, protože vítěz by měl 0 bodů a to není možné. Proto x=9. Aby řešení bylo úplné, je třeba vyplnit turnajovou tabulku a tím dokázat, že popsaná situace může opravdu nastat.


A B C D E F G H I Poř.

A X 1\over2 1\over2 1\over2 1 1\over2 1 1 1 1.-2.
B 1\over2 X 1 1 1\over2 0 1 1 1 1.-2.
C 1\over2 0 X 1 1\over2 1\over2 1 1 1\over2 3.-4.
D 1\over2 0 0 X 1 1\over2 1\over2 1 1\over2 5.
E 0 1\over2 1\over2 0 X 1 1\over2 1\over2 1 6.
F 1\over2 1 1\over2 1\over2 0 X 1 1\over2 1 3.-4.

G 0 0 0 1\over2 1\over2 0 X 1\over2 1\over2 7.
H 0 0 0 0 1\over2 1\over2 1\over2 X 1\over2 8.
I 0 0 1\over2 1\over2 0 0 1\over2 1\over2 X 9.

$$