Úloha č. 1

Král může s mincemi provést pouze dvě vážení:
a) 1+2 proti 3
b) 2+3 proti 5
Každé vážení může mít tři výsledky, jejich kombinací dostaneme tyto možnosti:

Úloha č. 2

Pro 5 zajatců musí zároveň platit 5 tvrzení. Vyjdeme z tvrzení c) 2 a 3 mají stejný osud:
1) oba život
2) oba smrt
Podle tvrzení d) v 1. případě 4 zemře, v 2. případě bude žít,
podle tvrzení b) v 1. případě 5 zemře, v 2. případě bude žít,
podle tvrzení e) v 1. případě 1 žije, v 2. by mohl zemřít nebo žít, ale
podle tvrzení a) smí zemřít jen jeden z 1 a 3, čili vznikají dvě možnosti:
1Ž, 2Ž, 3Ž, 4S, 5S nebo 1Ž, 2S, 3S, 4Ž, 5Ž
V ostatních případech nikdy neplatí všech 5 tvrzení zároveň.

Úloha č. 3

K tomu, abychom kvádr 20 \times 50 \times 70 cm rozdělili na krychličky 10 \times 10 \times 10 cm, musíme provést 11 řezů (1+4+6). Těchto 11 řezů rozdělí tělesovou úhlopříčku na 12 částí (každý z řezů ji přetne v jiném místě, neboť čísla 2,5 a 7 jsou nesoudělná). Úhlopříčka tedy prochází dvanácti krychličkami.

Úloha č. 4

Symetricky doplníme údaje v tabulce. B získalo celkem 1 bod s A (ostatní zápasy prohrálo). D získalo 3 body, prohrálo s A (to dalo D pět branek a samo A dostalo jen 3 branky). D vyhrálo s B (viz výše) a tedy remizovalo s C 1:1. D dostalo od B 1 branku (celkem 7), tedy D vyhrálo nad B 2:1 a C vítězí nad B 1:0. C porazilo A 1:0 a A porazilo D 5:1. Zbývá doplnit skóre, body a pořadí.