Zadání 1. série 3. ročníku

Termín odelslání: 9. listopadu 1987

Adresa:3

Král PIKO III. zdědil království PIKOLAND v zuboženém stavu. V zemi bylo deset měst, ale žádná dvě nebyla spojena řádnou asfaltovou cestou. Proto vydal rozkaz, aby z každého města postavili 4 cesty vedoucí do některých jiných 4 měst Pikolandu. Domníval se, že po postavení těchto 20 cest se určitě bude moci projet z každého města království do všech ostatních měst PIKOLANDU po asfaltové cestě.

Úloha č. 1:

(a) Ukažte, že se král mýlil, tj. že může nastat situace, že z každého města království jdou právě 4 cesty a přesto existuje dvojice měst (dokonce je jich více), která nejsou cestami vůbec spojena. (b) Dokažte, že kdyby z každého města vedlo 5 cest, už by bylo určitě možné se po nich dostat z každého města do všech ostatních v království.

Další novinkou, kterou PIKO III. zavedl, bylo zvonění na jeho počest. Nařídil, aby zvony na věžích zvonily vždy tehdy, když jsou minutová a hodinová ručička na sebe kolmé.

Úloha č. 2:

(a) Kolikrát za 24 hodin zvonily hodiny v Pikolandě na královu počest?

(b) Kdy přesně zvonily poprvé po půlnoci?

Princezna Truculka jednou vyvedla svému otci, králi PIKOVI, takovýto žertíček: Vybrala z královské pokladny celou hotovost -- 100 zlatých mincí, obula si mílové boty (co krok, to míle) a vyrazila po cestě do druhého království (dlouhé 100 mil). Přitom po každém kroku položila na zem jednu minci. Když to král zjistil, svolal svých 5 synů a přikázal jim jít za princeznou a mince z cesty posbírat. Doma však zůstaly jen samé zázračné boty: jeden pár dvoumílových (co krok, to dvě míle), jedny trojmílové, jedny čtyřmílové atd. (pro každé přirozené n jedny n-mílové, ale n \neq 1).

Úloha č. 3:

Poraďte princům, které boty si mají obout a odkud mají vykročit (nemusí všichni začínat na 1. míli), aby spolu posbírali všechny mince při cestě do druhého království (při cestě zpět už nesbírají).

Tento žert Truculce přišel ale draho. Král usoudil, že se moc nudí, a že bude třeba Truculku vdát dřív než bude pozdě. Vypsal konkurs: Truculku a půl království slíbil tomu, kdo vyřeší tuto úlohu:

Úloha č. 4:

Ve slově PIKOMAT je třeba nahradit písmena různými číslicemi z množiny \lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace tak, aby vzniklé sedmiciferné číslo bylo dělitelné číslem 72 a bylo co nejmenší.