Úloha č. 1

a) viz obrázek

b) Uvažujme dvě města, která nejsou spojena cestou. Z každého z nich vede 5 cest, tedy dohromady z nich vede 10 cest. Protože zbývajících měst je jen 8, musí některé dvě z těch cest vést do jednoho a téže města. Přes toto město budou obě uvažovaná města spojena cestami.

Úloha č. 2

Minutová ručička se otočí za 1 minutu o úhel 6^{o}, hodinová ručička se ve stejném čase otočí o 0,5^{o}. Tedy úhel mezi oběma ručičkami se každou minutu zvětší o 6^{o}-0,5^{o}=5,5^{o}. O půlnoci je úhel, který svírají ručičky, 0^{o}. Za jak dlouho se zvětší na 90^{o}? Hledaný čas nechť je t. Potom musí platit 5,5 \cdot t = 90, odkud $t = 90 \over 5,5 = 16,36... min, což je přibližně 16 minut 21,8$ sekundy. Poprvé po půlnoci budou na sebe kolmé ručičky v 0 hod 16 min 21,8 s. Další takováto poloha nastane, když se úhel mezi ručičkami zvětší o 180^{o}. Tedy mezi dvěma kolmými polohami vždy uplyne doba $2t = 180 \over 5,5 = 32,72$ min. Potom počet zvonění na královu počest za den je: x=24\cdot60_over()32,72. Protože x je přirozené číslo, x=44.

Úloha č. 3

Řešení je možno znázornit tabulkou:

Že princové snadno sesbírají prvních 12 mincí, se lehce ověří, že seberou i ostatní, plyne z toho, že se celá situace každých 12 mil opakuje (všechny boty mají délku kroku dělitelnou 12).

Úloha č. 4

Protože číslo PIKOMAT má být dělitelné 72, musí být též dělitelné 8 a 9 (8\cdot9=72). Sečteme-li všechny číslice, které se mají za písmena dosazovat: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, dostaneme číslo dělitelné devíti. Protože číslo PIKOMAT se skládá jen ze sedmi číslic, musíme dvě číslice vynechat. Aby zůstala zachována dělitelnost devíti, vybíráme z dvojic 1,8-2,7-3,6-4,5. Číslo má být co nejmenší, budeme potřebovat tedy nechat 1,2,3. Vypadne dvojice 4,5. Kombinací číslic 6,7,8,9 hledáme nejmenší čtyřciferné číslo dělitelné osmi. Hledané číslo je 7896. Za slovo PIKOMAT musíme dát tedy číslo 1237896. Toto číslo splňuje žádané podmínky, tedy je nejmenším číslem dělitelným 72, přičemž se žádná číslice v čísle nevyskytuje dvakrát.