Zadání 2. série 2. ročníku

Termín odelslání: 15. prosince 1986

Adresa:2

Úloha č. 5:

Počítací stroj PIKOTRON II. pracuje následovně: je možné do něho vložit libovolné dvojice přirozených čísel x,y. Po vložení čísel si stroj „v duchu“ vypočítá tři hodnoty: číslo x^{2}+y^{2}, číslo 297-x^{2} a číslo 402-y^{2}. Tato tři čísla mezi sebou porovná a nejmenší z nich vyplivne - to znamená napíše na obrazovku.
Například: x=2, y=9, pak 2^{2}+9^{2}=85, 297-2^{2}=293, 402-9^{2}=321, na obrazovce bude 85.
Zjistěte, jaké největší číslo se na obrazovce PIKOTRONU II. vůbec může objevit a najděte x,y které je třeba přitom do stroje vložit.

Úloha č. 6:

Napište všechny způsoby, kterými lze číslo 1986 zapsat jako součet po sobě jdoucích přirozených čísel.

Úloha č. 7:

Jakým nejmenším počtem přímek se dá rovina rozdělit na tisíc částí? Jakých částí bude víc: konečných či nekonečných (ohraničených či neohraničených)?

Úloha č. 8:

Ve státě Dekapolis (který má deset měst), se rozhodli vybudovat leteckou síť, to jest pospojovat některé dvojice měst leteckými linkami. Takto vypadal první návrh:

Ten se však z estetických důvodů zamítl. Kromě toho si vymysleli podmínku, že z poloviny měst má vycházet sudý počet linek a z druhé polovice měst lichý počet linek. Dokážete navrhnout leteckou síť pro Dekapolis splňující tuto podmínku?