Úloha č. 9

Pro jednoduchost předpokládejme, že zahrada má rozměry $1000 \times 1000 m, zajíc běží rychlostí 10 m/s a vlci rychlostí 14$ m/s. Rozměry zajíce i vlků zanedbáme, považujeme je za body. Rohy zahrady (i vlky) označíme A,B,C,D. Zajíc se zachrání například následujícím postupem:
Poběží přímo k vlkovi B (po úhlopříčce zahrady). Přesně 7 m od rohu B zahne doprava nebo doleva pod pravým úhlem (v místě E) a běží dále rovně až vyběhne ze zahrady v místě F. Ukážeme, že při opuštění zahrady v bodě F mu nehrozí nebezpečí ani od vlka C ani od vlka B a tedy ani od ostatních vlků.
Nejprve přesně určíme polohu bodu F. Platí $|BF|=\sqrt{2 \cdot |BE|^{{2}}=\sqrt{2 \cdot 7}{2}}=9,89949 m, tedy asi 10$ m. Čili |CF|=1000-|BF|=990 m. Dráha ZEF zajíce má délku: |ZE|+|EF|=|ZE|+|EB|=|ZB|=\sqrt{2}\over2 |BC|=707,106. Tedy asi 707,11 m. Zajíc ji přeběhne za 70,711 s. Kdyby vlk C celou tuto dobu běžel k místu F, uběhl by jen 70,711\cdot14=989,954 m a tedy nedoběhne k bodu F (bude mu chybět asi 5 cm). Vlk B buď opustí B dříve než dosáhne zajíc bod E (to je ovšem nerozumné, tím zajícovi pomůže) nebo čeká, pokud zajíc běží přímo k němu. Kdyby vyrazil z bodu B ve chvíli, kdy zajíc odbočil v bodě E k bodu F, vlk už bodu F nedosáhne dříve než zajíc: proběhne dráhu |EF|\cdot1,4=7\cdot1,4=9,8 m a tedy bude od bodu F vzdálen ještě asi 20 cm ve chvíli, kdy jím bude zajíc vybíhat ze zahrady.

Úloha č. 10

Pavla si zabezpečí vítězství následujícím postupem: První tah udělá tak, aby nechala hromádky 6,6,8. Dále bude postupovat tak, aby vždy po jejím tahu zůstaly tři hromádky se sudým počtem kamenů. Milena musí po svém tahu zanechat dvě hromádky liché a jednu sudou. Lichá hromádka nemůže být nulová (bez kamene), tedy z liché hromádky se může vždy ještě tahat. Pavla tedy bude mít vždy tah, za to Milena se dostane do situace, kdy nebude mít tah a prohraje (sudé hromádky budou prázdné). Pavla bude tedy opakovat vždy tahy Mileny (bude brát ze stejných hromádek) a vyhraje.

Úloha č. 11

Danou rovnici můžeme upravit na tvar x+y=x\cdoty_over()14. Ze zadání je zřejmé, že hledaná čísla x, y musí být obě větší než 14, jinak by jejich převrácené hodnoty byly větší než 1 \over 14 a nemohla by platit rovnost. Tedy čísla x,y si můžeme představit ve tvaru x=14+a, y=14+b, kde a,b jsou neznámá přirozená čísla. Dosadíme do výše uvedené rovnice.
(14+a)+(14+b)=(14+a)\cdot(14+b)\over14, což lze upravit na tvar a \cdot b = 196. Z toho je jasné, že a a b jsou navzájem se doplňující dělitelé čísla 196. Můžeme sestavit tabulku, z prvních dvou řádků odvodíme snadno hodnoty x a y:

Úloha č. 12

Označme x čas, který potřebuje parník k tomu, aby urazil vzdálenost mezi městy pouze vlastní rychlostí (ve stojaté vodě). Dále označme y čas, který potřebují k proplutí vory. Parník ujede za 1 h 1\overx vzdálenosti Pikova a Matné, vory 1\overy této vzdálenosti. Jestliže pluje parník po proudu, za 1 h ujede 1 \over x + 1 \over y. Proti proudu pak parník za 1 h ujede vzdálenost 1 \over x - 1 \over y. Dostáváme soustavu rovnic:

Vory z Pikova do Matné pojedou 35 hodin.