Úloha č. 1

a) Podle nás stačí 16 telefonátů. Označme zaměstnance 1,2,...,10. Potom si mohou zatelefonovat např. v pořadí: $10-9, 9-8, 8-7, 7-6, 6-5, 5-4, 4-3, 2-1, 4-2, 3-1, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10$. Předpokládáme, že při každém hovoru si účastníci prozradí všechny příměsi, o kterých již vědí. Bohužel, neumíme dokázat, že menší počet hovorů nestačí. Pokud najdete lepší řešení, dejte nám vědět, budeme rádi.
b) Stačí použít podobný systém jako v případě a). Označíme zaměstnance 1 až 100. Telefonáty budou v tomto pořadí: $100-99, 99-98, 98-97, ..., 6-5, 5-4, 4-3, 2-1, 4-2, 3-1, 4-5, 5-6, 6-7, ..., 98-99, 99-100. Hovorů je 196$, na konci budou znát všichni všechny příměsi PIKO-COLY.

Úloha č. 2

Seřaďme chlapce podle váhy a označme jejich neznámé hmotnosti a>b>c>d>e. Když sečteme všech deset hodnot, které váha postupně ukázala, dostaneme číslo 4a+4b+4c+4d+4e, neboť každý chlapec stál na váze přesně čtyřikrát. Tedy 4\cdot(a+b+c+d+e)=1212, odkud a+b+c+d+e=303. Víme tedy již, kolik byla hmotnost všech chlapců dohromady. Největší hmotnost ukázala váha, když na ní stáli dva nejtěžší chlapci, tedy a+b=129. Nejmenší hmotu ukázala váha, když na ní stáli dva nejlehčí chlapci, tedy d+e=114. Odtud dostáváme a+b+d+e=129+114+243. A tedy c=(a+b+c+d+e)-(a+b+d+e)=303-243=60. Hmotnost prostředního chlapce je tedy 60 kg. Druhou největší hmotnost ukázala váha, když na ní stáli chlapci s hmotností a+c=125. c=60. Tedy a=65. Protože a+b=129, bude b=64. Podobně získáme: c+e=116, čili e=56. d+e=114, tedy d=58.
Chlapci měli postupně 65,64,60,58,56 kilogramů.

Úloha č. 3

Nejprve je třeba si uvědomit, že dráha, po které půjdu, musí být konvexní útvar. Jinak by ji bylo možné změnit tak, aby bylo uzavřených více pozemků:

Z konvexních útvarů přicházejí do úvahy pravoúhelníky (obdélníky a čtverce). Označme rozměry hledaného pravoúhelníka 20x, 20y (násobky 20 jsou nutné proto, neboť cesta musí obcházet pozemky 20 \times 20 m). Podle zadání má cesta délku 1 km, tedy má platit:
2\cdot(20x+20y)=1000, po úpravě: x+y=25
a zároveň součin x \cdot y má být co největší (x \cdot y je počet uzavřených pozemků). Vyzkoušením všech možností zjistíme, že největší hodnotu má součin x \cdot y pro x=12 a y=13 a naopak. Odpověď: uvnitř cesty může být uzavřeno nejvýše 12\cdot13=156 pozemků.

Úloha č. 4

a) Předpokládejme, že trojúhelník má stranu délky 1. Aby se z dílů 1 a 2 dal složit rovnostranný trojúhelník, musí platit 2x=1-x, tedy x=1\over3.

b) Dvě různá řešení