Úloha č. 13

O čísle udávajícím počet korun víme: I. že je to druhá mocnina, II. že se skládá z lichého počtu desítek a zbytku, který je menší než deset. Mocniny (druhé), které mají na místě desítek lichou číslici: 16, 36, 196, 256,.... To nás vede k hypotéze: jestliže má druhá mocnina na místě desítek lichou číslici, tak má na místě jednotek cifru 6. To je však třeba dokázat. Předpokládejme pro jednoduchost, že počet ovcí je dvojciferné číslo n. Platí, že: n=10a+b

proto:

(10a+b)^{2}	=	n^{2}
(10a+b)^{2}	=	100a^{2}+20ab+b^{2}

Protože nás zajímá počet desítek druhých mocnin, budou nás zajímat pouze členy 20ab a b^{2}. Číslo 100a^{2} udává počet stovek, číslo 20ab je sudé, takže lichý počet desítek stanovuje pouze číslo b^{2}.

Přitom b je číslice od 0 do 9. Lichý počet desítek má pouze druhá mocnina 4 a 6.
4^{2}=16 a 6^{2}=36.

Na místě jednotek se objevuje stále 6. Zkuste si podobný důkaz pro trojciferná čísla. Jeden bača dostane tedy desetikorunu a druhý 6 Kčs. Aby měli stejně, musí první bača vypsat šek na dvě koruny. Pak budou mít oba stejně -- 8 Kčs.

Úloha č. 14

Úlohu jsme zadali dost nešťastně. Pokud se pořádně zamyslíte nad řešením, vezmete do úvahy časová pásma, začne se příklad nebezpečně komplikovat. V každém případě je třeba počítat nejen s loďmi, které vyplují v době plavby „naší“ lodi, ale také s těmi koráby, které již v době vyplutí „naší“ lodi jsou na moři. Je velice pěkné udělat si grafikon přepravy v obou směrech. Z něj je vidět, že po dvanácti hodinách plavby potká loď vždy loď v protisměru. K setkání bude docházet tedy vždy o půlnoci a v poledne. Po cestě tedy potká „naše“ loď celkem 13 lodí společnosti, k čemuž můžeme počítat dvě lodi, které potkává „naše“ loď v přístavech. Jednu, když vyplouvá z Le Havru, a druhou, když vplouvá do New Yorku.

Úloha č. 15

Stačilo si uvědomit, že průměr koule opsané krychli je vlastně tělesovou úhlopříčkou krychle. Ze zadání plyne, že strana krychle (průměr vepsané koule) je dva metry. Úhlopříčka podstavy krychle měří 2 \cdot \sqrt{2} a tedy tělesová úhlopříčka měří (podle Pythagorovy věty):

\sqrt{2^{2}+(2\cdot\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{4+8}=\sqrt{12}=2\cdot\sqrt{3}\doteq1,73

Průměr opsané koule je tedy asi 1,73 m.

Úloha č. 16

Úlohu nelze počítat jako aritmetický průměr obou rychlostí. Průměrná rychlost v se vypočítá jako podíl celkové dráhy ku času, který je potřeba na uražení celé dráhy: v=s\overt.

Dráha s se skládá ze dvou stejných úseků neznámé délky x. Čas t se skládá z času, který trvala cesta do města t_{1}=x\overv_{1} a z času, který potřeboval automobil na cestu zpět t_{2}=x\overv_{2}.
Po dosazení: v=2x \over (x\overv_{1} + x\overv_{2})

a úpravě dostáváme: v=v_{1}*v_{2} \over (v_{1} + v_{2})

Pro konkrétní údaje v zadání úlohy vychází v=48 km\overh.

Je třeba provést zkoušku.