Úloha č. 9

Zvolíme si jednu kuličku (např. bílou) za stabilní. Umístíme ji např. nahoru. Další barevnou kuličku můžeme umístit pouze dvěma způsoby:

Více možností umístění není! Všechny ostatní lze převést na jednu z těchto možností buď otočením nebo překlopením chrastítka. Zbývající tři kuličky můžeme kombinovat celkem šesti způsoby.

Dohromady je tedy 6 \times 2 = 12 různých typů chrastítek.

Úloha č. 10

Jestliže se pozítří stane včerejškem, můžeme nazvat dnešní den popozítří. Podobně den, který byl dneškem, když předevčírem bylo zítra, nazveme předpředevčerejškem. Znamená to, že předpředevčírem bude stejně daleko od neděle jako popozítří. Zkusmo nebo rovnicí pak dospějeme k závěru, že dnešek je právě neděle.

7-(d-3)	=	(d+3)-7	d	...	dnešek
14	=	2d	7	...	sedmý den - neděle
7	=	d	d-3	...	předpředevčírem
	$$	$$	d+3	...	popozítří

$$

Úloha č. 11

a) Nejprve nahradíme trojúhelník dvojkou. Jiná cifra nepřipadá v úvahu, neboť nultá a první mocnina dvojciferného čísla pak dají číslo alespoň čtyřciferné. Čtvercem mohou být pouze ty cifry, které umocněné na druhou se opět vyskytují na místě jednotek: 0, 1, 5, 6.

Vyzkoušením získáme výsledek: 26^{2}=676.

b) Trojúhelník může být buď 2 nebo 3.Pokud by byl 2, zkoumáme dvouciferná čísla, skládající se ze stejných cifer, větší než 31, neboť čísla menší nebo rovny 31 po umocnění na druhou dají pouze trojciferná čísla. Z čísel 33, 44,..., 99 se však žádné do našeho rébusu nehodí. Zkoumáme třetí mocniny dvouciferných čísel, a to pouze do 21, neboť čísla větší mají třetí mocniny nejméně pěticiferné. Máme k dispozici tedy vlastně jen 11.

Ta taky vyhovuje podmínkám rébusu: 11^{3} = 1331

Úloha č. 12

Představme si, že malá koule o poloměru r je zatlačena velkou koulí o poloměru R do rohu místnosti. Středy obou koulí leží na tělesové úhlopříčce krychle (délka úhlopříčky podle Pythagorovy věty $d_{u} = 2R \cdot \sqrt{3}$), kterou opíšeme velké kouli a umístíme do rohu místnosti. Část tělesové úhlopříčky krychle, kterou neobsahuje velká koule, označíme 2y. Část této úhlopříčky, kterou neobsahuje velká koule ani malá koule umístíme v protilehlých vrcholech a označíme 2x.

Pak platí: R \over y = r \over x, kde:

x = y - 2r

y=\sqrt{3} \cdot R - R

po dosazení:

R \over (R \cdot (\sqrt{3} - 1)) = r \over (R \cdot (\sqrt{3} -1)-2r)

a dále: r = R \cdot (\sqrt{3}-1) \over (\sqrt{3}+1)

Po dosazení za R=0,5 m vychází r=0,1339746 m. Pokud budeme uvažovat o poloměru malé koule přitisknuté velkou koulí pouze k hraně místnosti, uvažujeme o stěnové úhlopříčce krychle opsané velké kouli. Poloměr takovéto malé koule je nejvýše r=0,0857864 m.

Největší malou koulí je tedy koule o poloměru asi 0,14 m.