Úloha č. 5

Do krabice je možné umístit 106 koulí. Uspořádáme je do jedenácti řad takto:

a) v každé liché řadě bude 10 koulí (lichých řad je 6)

b) ve čtyřech sudých řadách bude 9 koulí (jejich středy S budou nad body dotyku sousedních koulí předcházející řady)

c) v jedné sudé řadě bude 10 koulí

6 \cdot 10 + 4 \cdot 9 + 10=106

Důkaz:

Do krabice se vejde 106 koulí. Vypočteme výšku v jedenácti takto uspořádaných řadách:

v=2r+4r+8v_{t}, kde:

2r ... středy koulí první (a poslední) řady musí mít nejméně vzdálenost r ode dna (a víka) krabice.

v_{t} ... výška rovnostranného trojúhelníka SS^{'}S^{''}, kde S jsou středy tří koulí se vzájemným dotykem (je to tedy vzdálenost středů koulí sousedních řad, z nichž jedna má uspořádání a) a druhá má uspořádání b)

4r ... pro 2 sousední řady platí, že jedna má uspořádání a) a druhá c); výška těchto dvou řad je rovna 20 cm (čtyři poloměry)

Užitím Pythagorovy věty dostaneme v_{t}=r \cdot \sqrt{3}, v_{t}=8,66 cm

v=2 \cdot 5 + 8 \cdot 8,66 + 20, v=99,28 cm

v<100 ... tímto jsme dokázali I.

II. Do krabice se nevejde více než 106 koulí.

1) Předpokládejme, že se jich tam vejde $6 \cdot 10 + 3 \cdot 9 + 2 \cdot 10

107$

(tzn. že v každé liché řadě bude 10 koulí -- 6 řad, ve třech sudých řadách bude 9 koulí, ve dvou sudých řadách bude 10 koulí)

2) Pro tento případ v=2r+6v_{t}+8r a v<100 cm

v=10 + 6 \cdot 8,66 + 40,

v=101,96

v>100 ... spor

Do krabice se nevejde 107 koulí.

Úloha č. 6

Je možné vybrat maximálně 67 čísel, a to různými způsoby. Uvedeme základní dva:

řešení: všechna lichá čísla + čísla 4, 12, 16, 20, 28, 36, 44, 48, 52, 60, 64, 68, 76, 80, 84, 92, 100.

řešení: 1, 4, 5, 6, 14 až 25, 51 až 100.

Úloha č. 7

Jde o to zjistit, který z chlapců dosud ujel méně (to byl cyklista).

Hugo dosud ujel x. Kdyby ujel dvakrát méně než dosud ujel ... x\over2, měl by ujet ještě třikrát více ... x\over2 \cdot 3, čili celá cesta u Huga se dá vyjádřit: s=x\over2 + x\over2 \cdot 3; odtud s=2 \cdot x

Matěj zatím urazil y. Kdyby ujel dvakrát více ... 2y, měl by ujet ještě třikrát méně ... 2y\over3. Celá cesta Matěje: s=2y+2y\over3

Z rovnic vyjádříme x a y a porovnáme je:

x	=	s\over2,	y	=	3s\over8
s\over2	>	3s\over8_cr() x	>	y

Cyklista se tedy jmenuje Matěj.

Úloha č. 8

Je lepší začít házet dvoukorunou nebo pětikorunou?

Pokud vhazujeme dvoukoruny, číslo na obrazovce roste takto: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...

Při vhazování pětikorun se číslo mění takto: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

Začneme vhazovat tedy dvoukoruny, neboť číslo se přičítáním mění zpočátku rychleji. Je dobré hrát s co největším počtem mincí, s každou vhozenou roste zisk. Naše možnosti ukazuje tabulka:

počet dvoukorun	-	2	5	7	10	12	15	17	20
počet pětikorun	8	7	6	5	4	3	2	1	-

konečný stav	256	896	<u>1024</u>	704	496	296	184	104	61
vhozené mince	40	39	40	39	40	39	40	39	40

zisk	216	857	<u>984</u>	665	456	257	144	65	21

Největší možný zisk je tedy 984 Kčs.