Úloha č. 1

Položme si otázku takto: Na kolik částí se rozpadne tělesová úhlopříčka po rozřezání kvádru na krychle? Je zřejmé, že částí bude právě tolik, kolika krychlemi prochází tělesová úhlopříčka kvádru. Na rozřezání kvádru je potřeba udělat 4+3+2=9 řezů. Každý z těchto řezů rozřeže i úhlopříčku. Přitom žádné dva řezy nedělí úhlopříčku v tomtéž místě. To plyne z toho, že 3, 4, 5 jsou ve dvojicích nesoudělné (promyslete si to). Devíti řezy je tedy úhlopříčka rozřezána na 10 částí, tedy prochází deseti krychlemi.

Úloha č. 2

Chlapci vypili dohromady 8 litrů limonády, každý vypil tedy 8\over3 litrů limonády. Tomáš přinesl 5 litrů, z toho sám vypil 8\over3 litru a zbytek -- 7\over3 litru daroval Viktorovi. Péťa přinesl 3 litry, z nich vypil 8\over3 litru a zbytek -- 1\over3 litru daroval Viktorovi. Tomáš tedy daroval Viktorovi 7\times víc limonády než Péťa. Proto má Tomáš dostat 7\times víc peněz než Péťa. Dostane tedy 7 Kčs a Péťa dostane 1 Kčs.

Úloha č. 3

Stačí 7 deček. Do díry vepíšeme pravidelný šestiúhelník. Šest deček umístíme tak, aby jejich středy splynuly se středy stran šestiúhelníka. Tyto dečky pokryjí celý obvod díry a část vnitřku. Zbytek zakryjeme sedmou dečkou, jejíž střed položíme na střed díry.

Zbývá dokázat, že 6 deček na pokrytí díry nestačí. Položme si otázku: Jakou největší část obvodu díry může pokrýt jedna dečka? Odpověď je zřejmá: oblouk zakrytý dečkou je největší tehdy, když jeho koncové body leží na průměru dečky. Tento oblouk je šestinou obvodu díry. Na pokrytí obvodu je potřeba alespoň 6 deček, přičemž 6 jich stačí jen v případě, že jsou uložené tak, jako ve výše popsaném řešení. Jenomže v tomto případě nezakrývají celou díru, tedy 6 deček na zakrytí nestačí.

Úloha č. 4

Celou situaci znázorníme na vzorku 100 mužů, které očíslujeme 1 - 100. Přezkoumáme nejhorší možný případ.

1) Nechť muži 1 - 70 mají tmavé vlasy (to je 70\% ze 100)

2) 75\% ze 100 mužů má hnědé oči. Nejhorší případ nastane tehdy, když z nich co nejvíc nebude mít tmavé vlasy. Nechť tedy 71 - 100 a muži 1 - 45 mají tmavé vlasy.

3) 85 mužů (85\% ze 100) má mít výšku aspoň 178 cm. Nejhorší případ nastane, když co nejvíce z nich je mimo prvních 45, kteří mají první dvě vlastnosti. Nechť tedy výšku větší než 178 cm mají muži 46 - 100 a 1 - 30.

4) 90 mužů (90\% ze 100) má mít váhu menší než 100 kg. Nechť jsou to muži 31 - 100 a tedy ještě 20 mužů z těch, kteří mají první dvě vlastnosti. Tito muži budou mít tedy určitě všechny čtyři vlastnosti.

20\% mužů bude mít určitě všechny vlastnosti.