\def\m{\,{\rm m}}

Úloha č. 1

Teritorium ABCD je čtverec s obsahem 144\m^{2}. Dále jsou známy některé délky dle obrázku zad111. Určete obsah šedého teritoria.

Řešení: Víme, že čtverec ABCD má obsah 144\m^{2}. Obsah čtverce o délce strany a se počítá jako a^{2}, proto:

Strana čtverce má tedy délku 12 \m. Velký obdélník si označíme EFGH. Průsečík stran AB a EH nazveme X, průsečík BC a GH označíme Y. Pomocí délky strany čtverce dopočítáme délky BX a BY:

Víme, že |BX| = |HY| a |HX| = |BY|, což můžeme vidět na obr. vz111. Tím pádem jsme schopni dopočítat obsah obdélníku BYHX i EFGH. BYHX má strany o délkách 8\m a 9\m a EFGH o délkách 8+7=15\m a 9+1=10\m. Obsah šedého teritoria zjistíme odečtením obsahu BYHX od obsahu EFGH:

Obsah šedého teritoria je 78 \m^{2}.

Komentář: Někteří řešitelé neodčítali obsah obdélníku BYHX od EFGH, ale rozdělili si šedé teritorium na tři části, které postupně spočítali. Celkově nebylo mnoho chyb, pouze někdy řešitelé omylem spočítali obsah celého obdélníku EFGH a neodečetli obsah BYHX. Za toto dostali 4 body.

Úloha č. 2

Na obrázku zad121 je vyznačeno pět teritorií. Každý z dinosaurů velociraptor, stegosaurus, triceratops, tyranosaurus a pterodaktyl má právě jedno vlastní teritorium. Nevíme však, kdo má jaké. Víme ale, že teritorium stegosaura nesousedí s teritoriem velociraptora ani triceratopce. Dokonce teritorium triceratopse nesousedí s teritoriem tyranosaura. Určete počet možností, kterými lze přiřadit teritoria jednotlivým dinosaurům. Tyto možnosti nakreslete a zdůvodněte, proč jich nemůže být více.

Řešení: Nejprve si povšimněme, že teritorium uprostřed dole sousedí se všemi ostatními. Zároveň, vezmeme-li si libovolného dinosaura jiného, než pterodaktyla, najdeme k němu alespoň jednoho jiného dinosaura, se kterým nesousedí. Tedy dole uprostřed může být pouze pterodaktyl.

Dále víme, že triceratops nesousedí s dvěma dalšími dinosaury -- stegosaurem a tyranosaurem. Pokud by se triceratops nacházel v levém horním či prostředním horním teritoriu, nebylo by již kam stegosaura a tyranosaura umístit. Tedy musí být teritorium triceratopse buďto vlevo dole, nebo vpravo. Stejně se dá ukázat, že v jednom z těchto teritorií musí být i stegosaurus.

Počet možností, kterými lze stegosaura a triceratopse do těchto dvou teritorií umístit, je roven dvěma. Pro každou z těchto možností je již dále právě jeden způsob, jak umístit zbylé dinosaury. Tedy existují právě dva způsoby, jak dinosaurům rozdělit jejich teritoria. Tyto způsoby jsou vidět na obrázcích vz121 a vz122.

Komentář: Většina řešitelů s úlohou neměla problém. Nejčastěji se objevovaly malé chybky z nepozornosti, ale ani těch moc nebylo.

Úloha č. 3

Potkalo se několik dinosaurů. Každý s každým si právě jednou dal highfive. Určete, zda byl celkový počet highfive lichý, nebo sudý, pokud skupina obsahovala 10, 11, 40, nebo 41 dinosaurů.

Řešení: Každý dinosaurus dá highfive všem ostatním dinosaurům. Tedy ve skupině n dinosaurů dá každý n - 1 highfivů. Třeba v prvním případě dal každý devět highfivů. Abychom získali celkový počet highfivů, vynásobíme počet dinosaurů počtem highfivů, který každý z nich dá. Poté však musíme tento počet vydělit dvěma, protože každý highfive jsme započítali dvakrát, k oběma dinosaurům, kteří si ho dávali. Na skupinu n dinosaurů tím pádem připadá

Vypočítejme tedy počet highfivů pro jednotlivé případy.

• Pro 10 dinosaurů dá každý 9 highfivů. Celkem tedy jde o 

To je liché.

• Pro 11 dinosaurů dá každý 10 highfivů. Celkový počet je tedy

To je také liché.

• Pro 40 dinosaurů dá každý 39 highfivů. Celkově se jedná o 

To je sudé.

• Ve skupině 41 dinosaurů dá každý 40 highfivů. Celkově se jedná o 

To je také sudé.

Také si můžeme uvědomit, že abychom získali sudý počet highfivů, musí být čitatel v našem vzorečku dělitelný čtyřmi. Když ho totiž vydělíme dvěma (jmenovatelem), výsledek zůstane sudý. Jelikož se sudá a lichá čísla střídají a dělitelné čtyřmi může být jen sudé číslo, musí být jedno z čísel n a n - 1 dělitelné čtyřmi. Počet highfivů je tedy sudý, pokud je n nebo n - 1, tedy počet dinosaurů nebo počet dinosaurů zmenšený o jedna, dělitelný čtyřmi. Pokud to tak není, počet highfivů je lichý.

Komentář: Valná většina řešitelů sčítala počet highfivů pro každého dinosaura zvlášť. Někteří si také všímali sudosti/lichosti součtů. Několik řešitelů ale nevzalo v potaz, že každý highfive započítali dvakrát.

Úloha č. 4

Stegosaurus, velociraptor a argentinosaurus jedli kameny. Trojnásobek kamenů, které snědl velociraptor, je menší než počet kamenů, které snědl argentinosaurus. Patnáctinásobek kamenů, které snědl stegosaurus, je roven devatenáctinásobku kamenů, které snědl argentinosaurus. Velociraptor snědl méně než 37 kamenů. Stegosaurus snědl o 6 méně kamenů než kolik snědli velociraptor a argentinosaurus dohromady. Kolik kamenů snědli jednotliví dinosauři? Výsledkem jsou celá nezáporná čísla. Uveďte všechna řešení a zdůvodněte, proč řešení nemůže existovat více.

Řešení: Nechť s, v a a postupně značí počet kamenů, které snědl stegosaurus, velociraptor a argentinosaurus. Ze zadání má platit

Jelikož s i a jsou celá čísla a 15 a 19 jsou nesoudělná, musí z druhé rovnice platit, že a je dělitelné 15, tedy a = 15k. Z druhé rovnice pak tedy s = 19k. Po dosazení do čtvrté dostáváme 19k + 6 = 15k + v, tedy v = 4k + 6. Po dosazení za v do 3v < a dostáváme 12k + 18<15k, tedy k >6. Zároveň po dosazení za v do v < 37 dostáváme 4k + 6 <37, tedy k < 31/4. Víme, že v je celočíselné, takže k \leq 7. Aby platilo k>6 a zároveň k \leq 7, musí už nutně platit k = 7, tudíž

Stegosaurus tedy snědl 133, velociraptor 34 a argentinosaurus 105 kamenů.

Komentář: Většina správných řešení postupovala podobně jako vzorové, nebo možná řešení omezila na několik možností, která vyzkoušela. Nejčastější chybou bylo neúplné zdůvodnění toho, že jiná řešení neexistují.

Úloha č. 5

Triceratops a velociraptor stojí na ose celých čísel. Triceratops začíná na čísle 1 a smí skákat +1 nebo +2. Velociraptor stojí na čísle 26 a smí skákat -1, -2, nebo -3. Střídají se ve skocích, začíná velociraptor. Pokud jsou na stejném čísle, je velociraptor uloven triceratopsem, čímž vyhrál triceratops. Pokud se velociraptorovi podaří triceratopse přeskočit, uteče tím už navždy triceratopsovi, a tedy velociraptor vyhraje. Pokud budou oba dinosauři hrát, co nejlépe dovedou, kdo z nich vyhraje? Dobře popište výherní strategii.

Varianta za 3 body: zadání je stejné, jen velociraptor začíná na čísle 6.

Řešení: Aby mohl velociraptor triceratopse přeskočit a vyhrát, potřebuje, aby po skončení jednoho z jeho tahů byla mezi ním a triceratopsem právě dvě volná políčka. V tuto chvíli ho triceratops nemůže ulovit, protože se umí pohybovat jen +1, nebo +2 políčka, zároveň ale musí zahrát. Po jeho tahu pak bude mít velociraptor jistotu, že ho bude moci přeskočit tahem -3. Jak ale velociraptor docílí toho, aby tato situace nastala?

Všimněme si, že ve chvíli, kdy jsou mezi triceratopsem a velociraptorem dvě volná políčka, je rozdíl čísel políček, na kterých dinosauři stojí, 3. Velociraptor tedy po každém tahu triceratopse dorovná svým tahem rozdíl tak, aby byl dělitelný třemi. V prvním kole například skočí skokem -1 z čísla 26 na číslo 25. Čímž získá požadovaný rozdíl (25-1=24). Poté už jen dorovnává triceratopsovy tahy. Na jeho tah +1 zahraje -2, na tah +2 zahraje -1. Vzhledem k tomu, že triceratops nemůže zahrát +3, bude se rozdíl snižovat po třech a nemůže tedy dojít k přeskočení žádného násobku tří. Tím pádem po jednom z velociraptorových tahů určitě bude rozdíl pouze 3, čímž velociraptor vyhrál.

Ve variantě za tři body lze aplikovat stejnou strategii. Velociraptor v prvním kole skočí na políčko 4 čímž vytvoří požadovaný rozdíl. Triceratops ho nemůže ulovit, zároveň tahem +1 nebo +2 sníží rozdíl a v dalším kroku ho velociraptor určitě bude moci přeskočit tahem -3. Opět vítězí velociraptor.

Komentář: Hodně řešitelů dospělo ke správnému výsledku, tedy k tomu, že vyhraje velociraptor. Často už ale chybělo úplné zdůvodnění nebo vysvětlení jeho výherní strategie. U tohoto typu úloh je potřeba popsat strategii co nejobecěneji. Strategie by měla fungovat ať už triceratops hraje jakkoliv, uvedení jednoho příkladu proto nestačí. Ideálně mělo řešení popisovat způsob, jakým velociraptor reaguje na triceratopsovy tahy. Možností, jak to udělat, už bylo více.

Úloha č. 6

Na šachovnici 8 \times 8 je tyranosaurus. Ohrožuje čtyři políčka jako na obrázku zad161. Na tato políčka skáče, a tedy dokáže přeskočit sousední políčka případně obývaná dalšími dinosaury. Kolik nejvíce takových tyranosaurů může stát na jedné šachovnici, aby se žádní dva neohrožovali? Dobře zdůvodněte, proč jich na šachovnici nejde umístit více a nakreslete jedno rozmístění maximálního počtu tyranosaurů.

Řešení: Po chvíli testování různých umístění tyranosaurů můžeme přijít na to, že nejvýhodnější je z nich vytvořit bloky 2 \times 2, ve kterých se žádní dva tyranosauři ohrožovat nemohou. Mezi každými dvěma bloky poté musíme horizontálně a vertikálně zanechat blok 2 \times 2 mezeru. Pokusíme-li se tyranosaury vyplnit celou šachovnici, přijdeme na podobné nebo stejné řešení jako na obrázku vz161. Na šachovnici je celkem 32 tyranosaurů.

Jak ale dokázat, že toto řešení je nejlepší možné? Důkaz provedeme takzvaně sporem. Uvažujme, že je na šachovnici 33 tyranosaurů. Protože je 8 sloupců, v nějakém sloupci by muselo být aspoň 5 tyranosaurů -- kdyby v každém sloupci byli jen čtyři tyranosauři, bylo by celkem pouze 8 \cdot 4 = 32 tyranosaurů. Sloupec rozdělíme na horní a spodní půlku, každou po 4 polích. V některé půlce musí být aspoň tři tyranosauři -- kdyby v každé půlce byli jenom dva, byli by ve sloupci jen 4 tyranosauři. Nicméně 3 tyranosaury do těchto 4 polí umístit nemůžeme, protože, ať každého tyranosaura umístíme jakkoliv, vždy ohrožuje jedno další z těchto 4 polí. Maximální počet tyranosaurů v jedné půlce sloupce je tedy 2, nikoliv 3, jak jsme se snažili dokázat. Sporem jsme tedy přišli na to, že nejvyšší počet tyranosaurů na šachovnici je 32.

Komentář: Někteří řešitelé úlohu řešili tím způsobem, že vybarvili stejnou barvou políčka, na kterých můžou stát tyranosauři, kteří se vzájemně ohrožují. Poté mohli velmi jednoduše ukázat, že zaplněné mohlo být pouze každé druhé políčko stejné barvy.

Úloha č. 7

Na zemi leží hvězda o 2024 paprscích, přičemž každý paprsek je tvořen 2024 kameny zarovnanými do řady. Uprostřed těchto paprsků leží jeden středový kámen. Dohromady tedy leží na zemi 2024\cdot 2024 + 1 kamenů. Chasmosaurus a styraco\minussaurus se střídají v tazích, začíná chasmosaurus. V každém tahu si daný dinosaurus vybere 1, 2, nebo 3 sousedící kameny v rámci jednoho paprsku (jeden z kamenů může být středový kámen) a sní je. Vyhrává ten dinosaurus, který sní poslední kámen. Pokud budou oba dinosauři hrát, co nejlépe dovedou, který z nich vyhraje? Dobře popište výherní strategii.

Varianta za 3 body: zadání je stejné, jen hvězda sestává ze středového kamene a pouze čtyř paprsků, přičemž každý paprsek je tvořen dvěma kameny zarovnanými do řady jako na obrázku zad171.

Řešení: Protože počet kamenů na zemi se každým tahem zmenší, tak jeden z dinosaurů určitě vyhraje. Ukážeme, že pokud budou dinosauři hrát, jak nejlépe dovedou, tak vždy vyhraje chasmosaurus. Popíšeme jeho výherní strategii. Na začátku sní chasmosaurus středový kámen. Ponechá tak středovou symetrii kamenů podle středu původní hvězdy. Když bude styracosaurus na tahu, tak středovou symetrii svým libovolným povoleným tahem poruší. Následně je chasmosaurus schopen svým tahem symetrii vždy opět navrátit tím, že sní kameny středově souměrné k těm, které snědl styracosaurus v předcházejícím tahu. Takto může hra probíhat až do konce, kdy poslední povolený tah udělá chasmosaurus.

Takové řešení funguje pro obě varianty. Komentář: Objevilo se mnoho neúspěšných řešení, která popisovala strategii na způsob doplňování do násobků čtyř. Ta v zásadě spočívá v tom, že v každém tahu chasmosaurus snědl 1 až 3 kameny tak, že po jeho tahu je počet zbylých kamenů dělitelný čtyřmi. Pro každou strategii je ale vždy důležité si ověřit, zdali ji hráč může vždy provést. A u této strategie může styracosaurus dostat chasmosaura do situace, ve které svou strategii použít nemůže (dokonce i ve variantě za 3 body). Takovým řešením jsem uděloval 3 body.

Opravovali: 1. Luisa Troupová a Jan Škopek, 2. Helena Muchová, 3. Sára Šamánková, 4. Veronika Menšíková, 5. Lukáš Koucký, 6. Adam Dřínek, 7. Jakub Trčka a Antonín Hejný.