\def\cm{\,\mathrm{cm}}
Úloha č. 1
Přesuňte dvě sirky tak, aby vzniklo alespoň šest čtverců. 
Řešení: Úloha měla hned několik různých řešení, která máte k dispozici níže. K řešení úlohy si musíme uvědomit, že úlohu řešíme v rovině (sirky nespojené), tedy čtverce jsou útvary s pouze čtyřmi vnitřními pravými úhly a stranami s rovnocennou délkou. Klíčové pro nás je si také uvědomit, že čtverce navzájem nemusí být stejné velikosti a mohou se překrývat. Teď už pro vyřešení úlohy stačí pouze párkrát zkusit sirky přeskládat a správně najít/spočítat v útvaru alespoň 6 čtverců :). Některá řešení můžete vidět na obrázcích níže.
Komentář: Většina řešitelů si s touto úlohou, kterou bych neoznačila za lehkou, poradila výborně. Velmi oceňuji všechna řešení, která nastínila více řešení a nacházela nové, originální, konstrukce. Jako opravovatel bych řekla, že i přestože některá řešení měla menší chyby, tak všechna došlá řešení byla zdařilá a ráda bych všem řešitelům tímto pogratulovala! Většina menších chyb vznikla záměnou rovnoběžníků za čtverce (a tedy následným špatným počtem čtverců v řešení) nebo bezdůvodným řešením úlohy v prostoru místo v rovině. Všechny chyby tedy nebyly fatální a můžeme se z nich poučit do příště. Děkuji za všechna řešení!
Komentář pro rodiče: Velmi se mi líbilo a oceňuji, jak někteří rodiče poskytli svým dětem sirky a pevnou plochu v procesu hledání konstrukce, což muselo být jistě velice nápomocné, a doporučuji tedy v souladu s rozvíjením 3D představivosti jim nadále takto napomáhat.
Úloha č. 2
Máme tři hadice. Když napouštějí bazének samostatně, tak ho napustí první za 24 hodin, druhá také za 24 hodin a třetí za 12 hodin. Jak rychle bazének napustí, pokud ho budou napouštět najednou?
Řešení: Pokud dvě hadice napouštějí bazének stejně rychle, tak dohromady bazének napustí za poloviční čas. První a druhá hadice tak spolu napustí bazének za polovinu času oproti 24 hodinám, tedy za 12 hodin. První a druhá hadice spolu napouštějí bazének stejně rychle jako třetí hadice, tudíž můžeme aplikovat tentýž postup. První a druhá hadice pak spolu se třetí hadicí napustí bazének za polovinu oproti 12 hodinám, což je 6 hodin.
Pokud budou bazének napouštět všechny tři hadice najednou, napustí ho za 6 hodin. Komentář: Úloha měla hodně druhů postupů, k nejlepším patřily ty obrázkové. Některé postupy obsahovaly rovnice. Ty pak vypadaly takto: x/24+x/24+x/12=1. Výsledek je pak x=6, kdy x je počet hodin, za jak dlouho se bazének naplní. Rovnicím se však ještě věnovat nemusíte, ty na vás čekají až v klasickém Pikomatu.
Komentář pro rodiče: Pokud mají děti problém si úlohu představit, můžete udělat pokus, kdy budete stopovat čas naplnění kyblíku. Nejprve kyblík napouštějte jednou hadicí. Poté to zkuste znova se dvěma. Porovnáním časů byste měli dojít k podobným výsledkům, jako jsou v úloze.
Úloha č. 3
Nakreslete síť útvaru včetně správně umístěných a otočených písmen napsaných na stěnách. Stěny se v nakreslené síti nesmí překrývat. Řešení: Úloha měla spoustu řešení a řešitelé ji řešili velmi různými způsoby. Například čím začít, jak označovat přikryté stěny atd. Nemá myslím cenu jednotlivé postupy rozebírat, ale všechny chválím za tvořivost. Tady použijeme řešení, kdy si jednotlivé krychle obarvíme, abychom viděli, která stěna ke které krychli patří, a rovnou začneme celým nápisem pikomat.
Komentář: Chválím, jak jste si sestavování útvaru rozdělili na části a i těžkou úlohu jste zvládli.
Komentář pro rodiče: Tyto úlohy mají výhodu, že tolik nerozhoduje věk dětí (navíc i malé dítě dokáže vyřešit problém, který bude trvat i rodičům) a zároveň procvičují představivost, proto se je snažíme zadávat.
Úloha č. 4
V následujícím textu a následné úloze doplňte chybějící slova.
Řešení:
Obsahem útvaru rozumíme velikost plochy, kterou útvar zabírá. Většinou jej značíme S. Měříme jej ve čtverečních jednotkách, tedy například v \cm^{2} (centimetrech čtverečních).
Obsah obdélníku a čtverce lze zjistit jednoduše. Pokud má obdélník rozměry a \times b, tak zabírá plochu a \cdot b, a má tedy obsah S = a\cdot b. Například obdélník se stranami 3 \cm a 4 \cm má obsah 12 \cm^{2}
S trojúhelníkem je to trochu složitější. Okolo trojúhelníku nakreslíme obdélník tak, aby jedna ze stran trojúhelníku byla stranou obdélníku a zbývající vrchol ležel na protější straně. Náš trojúhelník si vybarvíme. Trojúhelník si výškou rozdělíme na dva pravoúhlé trojúhelníky. Tím jsme zároveň rozdělili obdélník na dva obdélníky. V každém obdélníku zabírá vybarvená část stejný obsah jako nevybarvená. Obsah našeho trojúhelníku je tedy poloviční oproti obsahu obdélníku, jehož obsah umíme spočítat jako a\cdot b Obsah trojúhelníku je tedy obecně roven (a\cdot v)/2
Výška trojúhelníku v je úsečka procházející jedním vrcholem kolmá na protější stranu.)
Teď si pomocí nově nabytých znalostí vyřešíme úlohu.
Zadání: Mějme trojúhelník RAK s obsahem 9 \cm^{2}. Ve třetině strany AK blíže k vrcholu K leží bod X. Zároveň na úsečce AX leží bod H tak, že obsahy trojúhelníku RAH a RHX jsou stejné. Urči obsah trojúhelníku RHX.
Řešení: Všimněme si, že trojúhelníky RAH a RHX mají stejnou výšku z bodu R, protože je to vždy kolmice z R na přímku AK. Obsah trojúhelníku RAH tedy můžeme napsat jako (|AH|\cdot v)/2 a obsah trojúhelníku RHX jako (|HX|\cdot v)/2 Zároveň víme, že tyto obsahy jsou stejné, proto i úsečky AH a HX jsou stejně dlouhé. Bod H tedy leží uprostřed AX. A tedy bod H je ve třetině AK blíže bodu A
Všechny trojúhelníky RAH, RHX, RXK mají stejnou výšku z vrcholu R a také jejich strany AH, HX a XK jsou stejně dlouhé. Proto mají všechny tyto trojúhelníky stejný obsah. Obsah trojúhelníku RHX je tedy 3 \cm^{2}
Komentář: Chválím všechny řešitele, kteří odeslali alespoň něco. Nebyla chyba, že někteří odeslali jen část, kterou pochopili (i tak úloha splnila účel), a připomínám, že pro sčítání bodů sourozenců je lepší psát řešení rukou.
Komentář pro rodiče: Zvládli jste to dobře, snad se děti naučily základy obsahů.
Úloha č. 5
Mějme trojúhelník PES s obsahem 24 \cm^{2}. V jedné třetině strany ES blíže bodu S leží bod O. Podobně ve čtvrtině strany ES blíže k bodu E leží bod T. Urči obsah trojúhelníku PTO.
Řešení:
Obsah trojúhelníku PES lze spočítat jako
(délka strany ES krát výška na stranu ES, to celé děleno 2). Obsah trojúhelníku PTO je roven
(délka strany TO krát výška na stranu ES, která je shodná s výškou na stranu TO, to celé děleno 2). To znamená, že v obou případech násobíme délku některé ze stran trojúhelníků stejnou výškou a dělíme stejným číslem. Strana TO trojúhelníku PTO zabírá
strany ES. Obsah trojúhelníku bude tedy roven 5/12 krát obsah trojúhelníku PES.
Obsah trojúhelníku PTO je tedy roven 10 \cm^{2}.
Komentář: Většina řešitelů nejprve vypočítala obsahy trojúhelníků PET a PSO, které odečetla od celkového obsahu trojúhelníku PES. Jedná se o jedno z dalších hezkých řešení.
Komentář pro rodiče: V poslední úloze, která obvykle bývá návazná k úloze předešlé, je nutné psát vlastní postup (ne se pouze odkazovat na předchozí postup), i když může vycházet z textu 4. úlohy.
Opravovali: 1. Tereza Kubínová, 2. Irena Bártová a Klára Pernicová, 3. Martin Hajkl a František Steinhauser, 4. František Steinhauser, 5. Eliška Vimmerová
