Zadání 6. série 36. ročníku

Termín odeslání: 31. 5. 2021

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Šli lesem, který byl jaksi podivný, asi kouzelný. Už šli nějakou dobu, když potkali malou holčičku s košíčkem. Jmenovala se Karkulka. Aidu napadlo, že Norbertovi už asi docházely nápady na jména. Tato Karkulka ale neměla jenom jednu babičku -- měla jich hned 12. Ani už nevěděla, které jsou vlastní, a které nevlastní. Měla je moc ráda, takže by je chtěla navštěvovat co nejčastěji. Nerada chodila po stejných cestičkách (až na ty obzvlášť hezké), a tak přemýšlela, kolik má možností cesty.

Úloha č. 1

Karkulka navštěvuje svých 12 babiček žijících v lese. Ke každé z nich chce zajít právě jednou. Začíná u nejstarší babičky Aničky. Mezi domečky každých dvou babiček vede cestička. Některé z cestiček jsou obzvláště pěkné, takže se Karkulka po všech z nich chce projít. Od každé babičky vede nejvýše jedna obzvláště pěkná cestička, dohromady jich je 5. Kolika způsoby může Karkulka babičky navštívit? Cestičky se nikde kromě domečků babiček nepotkávají (je to přece kouzelný les). Když Karkulka přijde k domečku, babičku vždy navštíví.

Pomohli Karkulce a šli dál. Netrvalo to ani tak dlouho, než potkali sličnou slečnu, která na trakaři vezla několik pytlů. Když se představila jako Sněhurka, Aida se trochu bála, že v okolí bude nějaká zlá čarodějnice. Sněhurka ji ale ujistila, že všechny Karkulčiny babičky jsou moc hodné. Sama se právě vracela z trhu, kde pro sebe a trpaslíky nakupovala jablka.

Úloha č. 2

Sněhurka před týdnem koupila dva stejné pytle jablek a rozdělila je spravedlivě mezi sedm trpaslíků. Každý dostal pět jablek, zbylá, která se už nedala spravedlivě rozdělit, si vzala Sněhurka. Nyní opět koupila tytéž pytle jablek, ale čtyři. Když je stejně jako předtím rozdělila mezi trpaslíky, zbylo jí ještě méně jablek než minule. Kolik jablek je v jednom pytli?

Vašek z toho dostal hlad, ale jídlo už jim došlo. Nechtěl brát Sněhurce její jablka, ta je navíc ujistila, že ve městě \eta už za chvilku budou. A skutečně to netrvalo dlouho, než došli na okraj města, kde stál malý stánek s občerstvením. Prodávali v něm zlomky. Aidu to překvapilo, ale neměla odvahu si žádný koupit. Zato Vašek z toho měl velkou radost a hned si jeden koupil. Při bližším pohledu se mu ale moc nelíbil, tak si jej trochu upravil podobně, jako by si Aida třeba dosolila polévku.

Úloha č. 3

Vašek si koupil zlomek. Byl ale moc malý, tak jeho jmenovatel i čitatel zvětšil o jedna. Tím získal zlomek o 1/20 větší. To se mu pořád zdálo málo, takže čitatel i jmenovatel opět o jedna zvětšil. Díky tomu měl zlomek o 1/12 větší, než byl ten původní. Jaký byl původní zlomek?

Nakonec s ním byl spokojený a hned ho slupnul. Neodpustil si rýpnutí do Aidy, že tyhle zlomky byly skvělé, a že udělala chybu, když je nezkusila. Aida už ho ale nevnímala a přemýšlela nad sochou na náměstí. Když tam došli, zjistili, že na náměstí žádný osamocený trojúhelník není, stál tam velký dvacetistěn. Vaška to dost vyděsilo, ale než se stihnul zeptat, kolik je v něm trojúhelníků, Aida už mu odpovídala.

Úloha č. 4

Máme pravidelný dvacetistěn. Kolik existuje rovnostranných trojúhelníků s vrcholy ve vrcholech tohoto pravidelného dvacetistěnu?

„A to je máme zkusit všechny?“ vyděsil se Vašek. „Asi nám nic jiného nezbývá,“ odpověděla Aida, která už zkoušela bod na prvním z nich. Jak zkoušeli trojúhelníky, přitočil se k nim nějaký stařík a sledoval je. V rukou držel dva trojúhelníky. Ty Vaška zaujaly a chtěl vědět, jak jsou velké. Stařec se jen usmál a řekl mu to hádankou.

Úloha č. 5

Mám dva shodné trojúhelníky. Umím z nich složit obdélník s obvodem 23\ cm, rovnoběžník s obvodem 32\ cm a trojúhelník s obvodem 25\ cm. Spočítejte délky stran jednoho z těchto trojúhelníků.

Vašek ji nezvládnul vyřešit, a tak poprosil Aidu, která jen s odporem přestala zkoušet trojúhelníky a vyřešila hádanku. Vašek jí za to zkusil prověřit jeden z vrchních trojúhelníků. Už jim zbývalo prověřit jen dva, když se jeden z trojúhelníků začal hýbat. Odhalil se průlez, za kterým byly dveře, na nichž byl napůl popsaný lichoběžník a pod ním číselná klávesnice. Bylo zde napsáno „ZADEJ OBSAH LICHOBĚŽNÍKU.“

Úloha č. 6

V lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD se úhlopříčky AC a BD protínají v bodě X. Obsah AXD je 9\ cm^{2} a obsah CDX je 3\ cm^{2}. Jaký je obsah lichoběžníku ABCD?

Už se chystala prolézt průlezem, když ji Vašek zarazil. „Tam já už s tebou jít nemůžu. Musíme se rozloučit, já patřím sem. Moc rád jsem tě poznal. Snad se ještě někdy uvidíme, třeba až se k nám zase vypravíš.“ Aida si ani neuvědomovala, že se s ním musí rozloučit, a bylo jí to líto. Ale moc dobře věděla, že se musí vrátit domů. Tak se ještě naposledy objali a Aida vlezla do dvacetistěnu...

... a vylezla zpod peřiny v dobře známém prostředí slunečnicového pokoje v Kunžaku. Jak si pomalu uvědomovala, kdo, kde a proč vlastně je, sešla do společenské místnosti. Tam si Norbert a ostatní organizátoři hráli se stavebnicí.

Úloha č. 7

Norbert má stavebnici ze 64 krychliček. Stěna každé krychličky je buď bílá nebo černá. Norbert z nich ze všech může postavit krychli, která bude mít každou stěnu z poloviny černou a z poloviny bílou. Kolik nejvíc úplně bílých krychliček může ve stavebnici být? Nezapomeňte dokázat, že jich nemůže být víc.

„Dobré ráno, Aido!.“ přivítal ji, „vypadáš nějak zmateně, stalo se něco?“

„Jsem v pořádku. Jenom jsem už konečně vyzkoušela ten vynález. Funguje možná až moc dobře.“