Zadání bonusové série 39. ročníku

Termín odeslání: 30. září 2024. Zadání můžete najít i ve formě pdf.

Úloha č. 1

Klátra si myslí číslo x a Tonda si myslí číslo y, přičemž obě čísla jsou kladná celá a liší se o 1. Mezi Tondou a Klátrou proběhl následující dialog:

Klátra: „Neznám tvé číslo.“

Tonda: „Já to tvoje taky neznám.“

Klátra: „Tak já už to tvoje vím.“

Tonda: „Aha, tak já to tvoje už taky vím.“

Najdi všechna čísla, která si Tonda mohl myslet.

Úloha č. 2

Vyřeš následující rovnici v celých číslech, nebo ukaž, proč žádné celočíselné řešení nemůže existovat:

m\cdot(m-2)\cdot(m+2)+1=3333.

Poznámka: Tuto úlohu lze řešit podobně, jako je naznačeno v 4. úloze bonusové série Pikomatu junior. Tedy není třeba řešit kvadratické či kubické rovnice.

Úloha č. 3

David vzal nekonečný čtverečkovaný sešit a vystřihl z něj nekonečný čtverečkovaný pruh široký 1 čtvereček. Poté na tento pruh papíru nějak na hromádky rozmístil 20 mincí, každou hromádku na 1 čtvereček. Následně několikrát zopakoval následující postup:

Vybrat nějakou hromádku s alespoň dvěma mincemi.

Jednu minci z této hromádky posunout doleva, druhou doprava.

Rozhodni, jestli se někdy mohl dostat do situace, kdy byly hromádky mincí rozmístěny stejně jako na začátku. Pokud takové počáteční rozmístění mincí a sekvence Davidových tahů existují, tak je najdi. Pokud neexistují, tak to dokaž.