Zadání bonusové série 39. ročníku Pikomatu Junior

Termín odeslání: 30. září 2024. Zadání můžete najít i ve formě pdf.

Úloha č. 1

Určete výšku jednotlivých předmětů.

V této úloze chceme řešení i postup s mezikroky.

Úloha č. 2

V této úloze budou k získání plného počtu bodů stačit správné výsledky, ale pokud budou špatně (třeba se přepíšete), obodujeme alespoň postup. Ve všech podčástech této úlohy budete počítat, kolika způsoby lze daný útvar vyplnit „dominovými kostkami“ -- obdélníky 2\times 1 (obrázek kostky 2\times 1). Nemusíte spočítat všechny útvary, můžete poslat i část.

V této úloze nevyžadujeme postup, ale stačí pochopitelné řešení.

Úloha č. 3

Na obrázku vidíme síť „rozbalené“ krychle. Pomocí čar na povrchu krychle propojte stejná písmena na krychli tak, aby se žádné dvě čáry neprotínaly.

V této úloze nevyžadujeme postup, ale stačí pochopitelné řešení.

Úloha č. 4

V následujícím textu a následné úloze doplňte chybějící slova.

Celými čísly myslíme čísla ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... Přirozenými čísly myslíme čísla 1,2,3,... Tedy například -7 ...... (je/není) celé číslo, ale ...... (je/není) přirozené číslo.

Vezměme si nyní dvě celá čísla a, b. Pokud existuje celé číslo p takové, že a\cdot p=b, pak tuto skutečnost zapisujeme jako a \mid b (říkáme, že a dělí b). V opačném případě píšeme a \nmid b. Tedy například 3\mid 12, protože volbou p=4 dostaneme, že 3\cdot p=12. Podobně 7 \mid -35, což můžeme dokázat volbou p=-5. Nicméně 4\nmid 15, protože 15 dává po dělení čtyřmi zbytek 1. Podobně si můžeme povšimnout, že 2 \mathbin{..} 8, 3 \mathbin{..} 14, 4\mathbin{..} -16 a 7\mathbin{..} -19 (doplň vždy \mid nebo \nmid ).

Pokud pro nějaká celá čísla a,b,p platí, že p\mid a-b, pak tuto skutečnost zapisujeme jako a\equiv b \pmod p. Tím říkáme, že a dává po dělení číslem p stejný zbytek jako b. „(\!\bmod ~2)“ tedy znamená totéž jako „po dělení dvěma“. Například můžeme napsat, že 3\equiv 7 \pmod 2, 5\equiv 8\pmod 3 a 5\equiv -2\pmod 7. Navíc, když pro nějaká tři celá čísla a, b, m platí, že a\equiv b\pmod m, pak také platí že a\cdot a\equiv b\cdot b\pmod m. To si můžeme vyzkoušet třeba pro trojici čísel 2, 6 a 4. 2\equiv 6 \pmod 4, a tedy i 4\equiv 36 \pmod 4.

Pozn: Musí to platit pro všechny trojice, protože pokud a\equiv b \pmod m, pak existuje celé číslo c takové, že a=b+(c\cdot m). Potom

To znamená, že se a\cdot a a b\cdot b liší o nějaký násobek m. Z toho pak vyplývá, že platí zmiňované a\cdot a\equiv b\cdot b \pmod m.

S těmito znalostmi nyní vyřešíme úlohu:

Najděte všechna celočíselná x, která splňují následující rovnici:

Aby měla rovnice celočíselné řešení, musí mít obě strany rovnice stejné zbytky po dělení všemi přirozenými čísly. Vybereme si čtyřku. Obě strany rovnice proto „zmodulíme“ 4. To znamená, že zjistíme, jaký mají strany zbytek po dělení čtyřmi, a tyto zbytky porovnáme. Na levé straně máme 9\cdot x\cdot x + 12x + 2. 9\cdot x\cdot x můžeme rozepsat jako 8\cdot x\cdot x + 1\cdot x\cdot x. 8\cdot x\cdot x má po dělení čtyřmi zbytek .... Zbylo nám tedy 1\cdot x\cdot x. 12x má zbytek po dělení čtyřmi ...., to znamená 12x\equiv {....} \pmod 4. 2 má po dělení čtyřmi zbytek .... Pravá strana má po dělení čtyřmi zbytek ....

Na levé straně zbyl s nenulovým zbytkem výraz 1\cdot x\cdot x + 2. Jaký může mít 1\cdot x\cdot x zbytek? Víme, že operace (\!\bmod ~ 4) rozdělí všechna celá čísla do .... skupin, a to tak, že v každé skupině budou mít čísla stejný zbytek po dělení 4. Už víme, že to znamená, že i jejich druhé mocniny budou mít stejný zbytek po dělení 4. Z toho vyplývá, že abychom zjistili, jaké zbytky může mít x\cdot x \pmod 4, stačí to zjistit u jednoho zástupce z každé skupiny. Na to si uděláme tabulku:

Z tabulky lze vyčíst, že ať už má původní číslo po dělení 4 jakýkoliv zbytek, druhá mocnina tohoto čísla bude mít po dělení 4 zbytek 0 nebo ....

Z toho vyplývá, že ať už zvolíme jakékoliv celé číslo x, 1\cdot x\cdot x bude mít zbytek buď ...., nebo .... Když k tomu přičteme 2 (zbytek po dělení +2), bude mít levá strana rovnice po dělení 4 zbytek .... nebo 3. Pravá strana rovnice však bude mít zbytek ....

Strany rovnice tedy mají ...... (stejný/rozdílný) zbytek po dělení 4, rovnice proto ...... (má/nemá) řešení.

Úloha č. 5

Urči, která celá čísla x splňují:

Ve vašem řešení byste měli vyjmenovat všechny obecně platné informace a zdůvodnit, proč váš výsledek platí (a to tak, aby vaše vysvětlení dokázal pochopit i mladší sourozenec).

Není náhoda, že součástí předchozího textu je podobná úloha. Ta vám může posloužit jako šablona, kterou v této úloze doporučujeme použít.