Přednášky

_use(texmac)

Ne 20.8. Kája Kvadratická rovnice
Eva Racionální čísla
Lenka Dirichletův princip
Olda Karel Čapek
Po 21.8. Michal Kombinatorické grafy
Pausa Výroky
Myšlenka Indiáni
Lenka Analytická geometrie
Út 22.8. Kája Přednes poezie
Čt 24.8. Lenka Diofantické rovnice
Olda Metrické prostory
Kája Podivné počítání I
Pausa Pythagorova a Eukleidova věta
So 26.8. Jirka Jak funguje počítač
Viťas Úvod do vědy
Ne 27.8. Vašek F. Hasiči
(DNR) Štěpán Divadlo
Evža+Pája Krásy pohybu
Standa+Vašek O. Hrátky s papírem
Po 28.8. Eva Geometrie
Michal Programování
Kája Podivné počítání II
Olda Komplexní čísla
Út 29.8. Zbyňa Optimalizace v geometrii
Eva Goniometrie
Pausa PHP
Čt 31.8. Eva Hry
Zbyňa Pravděpodobnost
Michal Třídící algoritmy
Pavel Matice

Neděle 20.8.

Kvadratická rovnice

Kvadratická rovnice je jeden z nejpoužívanějších matematických poznatků vůbec. Ukázali jsme si jednu z nejstarších úloh vedoucí na kvadratickou rovnici: Jak určit ze znalosti obsahu a obvodu obdélníku délky jeho stran.

Byl předveden obecný postup pro nalezení řešení (tzv. kořenů x_{1}, x_{2}) kvadratické rovnice

ax^{2}+bx+c=0

pomocí vzorců

x_{1}={-b+\sqrt{D} \over 2a}, x_{2}={-b-\sqrt{D} \over 2a},

kde číslo D=b^{2}-4ac se nazývá diskriminant. Počet řešení závisí právě na diskriminantu: Je-li kladný, má rovnice dvě řešení. Je-li roven nule, pak má rovnice jedno řešení, které se nazývá dvojnásobný kořen. A konečně, je-li diskriminant záporný, rovnice nemá žádné řešení.

Řekli jsme si, co jsou to Viètovy vztahy a jak jich využít při řešení úloh nebo jak pomocí nich rychle nalézt kořeny rovnice.

Na závěr přednášky jsme řešili příklady z různých oblastí matematiky, které vedly právě na kvadratickou rovnici.

Racionální čísla

Na této přednášce jsme zkoumali délku period racionálních čísel tvaru 1\overa, kde a \in \N. Postupně jsme dospěli k těmto závěrům:

  • číslo ve tvaru 2^{k} 5^{m}, kde k,m \in \N, nemá periodu,
  • prvočísla nemají předperiodu,
  • předperiodu mají čísla ve tvaru x 2^{k} 5^{m}, kde k,m,x \in \N,
  • délka periody je maximálně a-1,
  • hodně čísel má periodu {a-1} \over 2,
  • délka periody prvočísla p dělí p-1,
  • součin dvou prvočísel má delší periodu než každé z prvočísel,
  • délka periody dělí počet nesoudělných čísel s a.

Pak jsme si definovali Eulerovu funkci, která udává počet nesoudělných čísel:

  • pro prvočísla: \varphi(p^{n})=p^{n} - p^{n-1},
  • pro složená čísla: $\varphi(p_{1}{n_{1}} p_{2}{n_{2}} p_{3}{n_{3}} \cdots p_{b}{n_{b}}) = \varphi(p_{1}{n_{1}}) \varphi(p_{2}{n_{2}}) \varphi(p_{3}{n_{3}}) \cdots \varphi(p_{b}{n_{b}})$.

Na okraj jsme zmínili malou Fermatovu větu: c^{\varphi(d)} má po vydělení d zbytek 1, c a d jsou nesoudělná.

Dirichletův princip

Pokud do n přihrádek umístíme n+1 kuliček, tak v některé přihrádce budou alespoň dvě kuličky. Toto jednoduché pozorování je známo jako Dirichletův princip.

Ukázali jsme si použití Dirichletova principu k důkazu některých tvrzení, např.:

  • Na MFF UK existují dva studenti, kteří mají narozeniny ve stejný den.
  • V Praze jsou dva lidé, kteří mají na hlavě stejný počet vlasů.
  • Mezi dvanácti celými dvojcifernými čísly najdeme dvě, jejichž rozdíl je dvojciferné číslo s oběma ciframi stejnými.
  • Pokud jsou a a b nesoudělná, tak desítkový zápis čísla ${a\over b} je buď ukončený, nebo periodický s periodou nejvýše b-1$.

Karel Čapek

Chtěl jsem předat posluchačům hlavně svůj náhled na Čapkova díla. Pokud by se někdo chtěl dozvědět více o samotném autorovi, je dobré si přečíst některou životopisnou knihu, např. {Karel Čapek } od Františka Buriánka nebo knihu {Moji milí bratři } psanou sestrou Helenou či {Můj švagr Karel Čapek } od Karla Scheinpfluga.

Výčet děl jsem prováděl přibližně chronologicky zároveň s událostmi ve spisovatelově životě. Samozřejmě, že jsem vše nestihl. Ani jsem se o to nesnažil. Naopak, ptal jsem se těch, kteří přišli, co o Karlu Čapkovi vědí, co od něj četli, jak na ně díla působila a snažil jsem se předat svůj pohled na vyřčené věci.

Neodpustil jsem si vyzvednout {KRAKATIT } (1924), což je bezesporu moje nejoblíbenější kniha, přečetl jsem ji nejméně čtyřikrát. Podle mně je to asi jediná Čapkova kniha podobající se {románu}, líbí se mi děj, i složitý vývoj hlavního hrdiny.

Nedávno (únor 2005) vyšla útlá knížečka {Tichý hlas}, která obsahuje některé dosud neuveřejněné texty, psané v posledním půlroce Čapkova života, je zde např. rozebírána situace předválečná, hlavně období po tzv. {Mnichovské zradě}...

Pondělí 21. 8.

Kombinatorické grafy

Přednáška byla zaměřena na využití kombinatorických grafů v informatice. Na začátek byly vysvětleny základní pojmy (hrana, vrchol, graf, cesta, kružnice, strom, ...).

Většina přednášky pak byla věnována binárním vyhledávacím stromům (BVS). Řekli jsme si, a na jednoduchých příkladech i vyzkoušeli, jakým způsobem se v BVS vyhledávají, přidávají a odebírají vrcholy. Nakonec jsme porovnali dobu vyhledávání v poli a dobou vyhledávání v BVS.

Na závěr přednášky jsem se zmínil o grafech s ohodnocenými hranami a o vyhledávání nejkratší cesty procházením do hloubky a do šířky.

Indiáni

Jak se Indiáni dostali do Ameriky? Evropané objevili Ameriku a v ní obyvatelstvo, o kterém v Bibli není jediná zmínka. Kdo jsou ti lidé? Chtěli samozřejmě vysvětlení od hlavy církve, a dostalo se jim jen svolení k šíření křesťanství mezi Indiány. Názor samotných Indiánů na to, jak se v Americe objevili, nikoho nezajímal, nikdo se jich neptal.

Analytická geometrie

Přednáška se pro nulový zájem nekonala.

Úterý 22. 8.

Přednes poezie

V přednášce jsme se věnovali předávání poezie, co to pro poezii může znamenat (nové výklady, aktualizace, přiblížení divákovi, zneužití poezie). Povídali jsme si o různých způsobech a prostředcích, že interpret nesmí přehrávat. Navíc se musí umět chovat: ovládat správná gesta, mimiku, hlas, pohyb na scéně.

Vše jsme dokreslili na ukázkách z tvorby Suzanne Renaud, Mariny Cvetajevové, Ivana Blatného, Jaroslava Seiferta, Václava Hraběte, Jana Opolského, Bogdana Trojaka a dalších.

Na závěr jsme si předvedli, jak by mohlo vypadat divadlo poezie.

Čtvrtek 24. 8.

Diofantické rovnice

Diofantická rovnice je taková rovnice, kde řešení hledáme jen mezi celými nebo přirozenými čísly. Následující metoda umožňuje nalézt všechna řešení lineární diofantické rovnice s více neznámými a celočíselnými koeficienty.

Mějme dánu rovnici v oboru celých čísel:

5x+8y = 13. {|} {}:5

Rovnici vydělíme menším z koeficientů u neznámých, což je v našem případě koeficient u proměnné x. Celé části přesuneme na levou stranu rovnice, zlomky na pravou. Protože levá strana rovnice je nějaké celé číslo, je taková i pravá. Tu označíme u, což je také celé číslo, a budeme pracovat pouze s druhou rovnicí.

\eqalignno{ x+y-2 = -{3\over5} y + {3\over5} & = u {|} {}\cdot 5 & (1) \cr 3y+5u &= 3 {|} {}:3 \cr }

Nyní postupujeme stejně jako výše. Všimněte si, že po vydělení menším z koeficientů bude v další rovnici jeden z koeficientů roven jedné. Toho využijeme později. Po dalších úpravách zavedeme ještě neznámé v a z.

\eqalignno{ y+u-1 = -{2\over3} u &= v & (2) \cr 2u+3v &= 0 {|} {}:3 \cr u+v &= -1/2 v = z & (3)\cr v &= -2z \cr}

Nyní vyjádříme všechny neznámé pomocí parametru z. Z rovnice (3) máme u={z-v}={z+2z}=3z. Z rovnice (2) vyjádříme y=v-u+1=-2z-3z+1=-5z+1. A konečně z (1) máme x=u-y+2=3z-(-5z+1)+2=8z+1. Všechna řešení dané rovnice v oboru celých čísel jsou tedy dvojice (8z+1;-5z+1), kde z je celé číslo.

Metrické prostory

Začali jsme definicí: metrickým prostorem chápeme dvojici (X,\rho), kde X je nějaká množina a \rho je tzv. {metrika}, což je zobrazení, které přiřazuje dvěma prvkům z množiny X nějaké nezáporné reálné číslo. Zapisujeme to jako \rho: X\timesX \rightarrow \R_{0}^{+}. Toto zobrazení ovšem musí splňovat nějaké podmínky:

  • Pro všechna x \in X a y \in X chceme, aby hodnoty zobrazení \rho byly nezáporné, tj. \rho(x,y)\geq 0.
  • Pro každé x \in X a každé y \in X musí platit, že \rho(x,y)=0 právě tehdy, když x=y. To přesně koresponduje s tím, že vzdálenost dvou prvků je nulová tehdy a jen tehdy, jedná-li se o týž prvek.
  • Pro každé x \in X a každé y \in X chceme platnost tzv. symetrie, tedy \rho(x,y)=\rho(y,x). Opět je jasná podobnost s klasickou představou měření vzdálenosti, že nezávisí na tom, zda měříme vzdálenost z bodu x do bodu y či obráceně.
  • Pro všechna x \in X, y \in X, z \in X požadujeme platnost trojúhelníkové nerovnosti:
\rho(x,z)\leq_rho()(x,y)+\rho(y,z).

Je dobré si uvědomit, že se jedná o zobecnění představy o měření vzdáleností (v eukleidovském smyslu) a že například ({\R},\rho_{1}), kde \rho_{1}(x,y):=|x-y| je metrický prostor, který dobře známe.

Jak vypadá množina bodů, které jsou v kartézské soustavě souřadnic od počátku vzdáleny o 1?

Je to množina bodů (x,y) popsaná rovnicí x^{2}+y^{2}=1. Se znalostmi z analytické geometrie, bychom odpověděli, že se jedná skutečně o jednotkovou kružnici.

Můžeme definovat n-rozměrný eukleidovský prostor jako prostor (\R^{n},\rho), kde pro x=(x_{1}, x_{2},...,x_{n})\in_R()^{n} a pro y=(y_{1}, y_{2},...,y_{n})\in_R()^{n} je

\rho(x,y)=[\sum^{n}_{i=1} (x_{i}-y_{i})^{2}]^{1/2}.

Naskytá se kuriosní otázka: „Může být koule hranatá?“ Tuto otázku položíme lépe a srozumitelněji: „Může být jednotková kružnice hranatá, například čtverec?“

Odpověď může být udivující. V rovině uvažujme následující metriku:

\rho_{M}(x,y)=\max_lbrace()|x_{1}-y_{1}|, |x_{2}-y_{2}|\rbrace.

Když se podíváme, jak vypadá jednotková kružnice v prostoru (\R^{2}, \rho_{M}), s úsměvem na líci konstatujeme, že se jedná o čtverec s vrcholy (1,-1), (1,1), (-1,1), (-1,-1).

Podivné počítání

Motto: {Dejte mi množinu a asociativní operaci s jednotkou a pohnu Zemí.}

Povídali jsme si o situacích v matematice, které lze popsat pomocí množiny, na které je definovaná binární operace * (tj. zobrazení, které dvěma prvkům přiřadí jeden prvek, něco jako sčítání nebo násobení).

Když je navíc operace asociativní (pro každé tři prvky platí rovnost {a*(b*c)}={(a*b)*c}), existuje prvek e zvaný jednotka (který splňuje rovnosti a*e=e a e*a=a pro libovolný prvek a; chová se stejně jako jednička při násobení nebo nula při sčítání) a ještě ke každému prvku a je jednoznačně určený prvek inverzní a^{-1} (který splňuje rovnosti a*a^{-1}=e a a^{-1}*a=e), pak dostáváme algebraickou strukturu, která se jmenuje {grupa}.

Jde vlastně o zobecnění pojmu násobení a sčítání. Ale je to zobecnění velmi plodné. Ukázali jsme si celou řadu příkladů: tvořili jsme grupy na funkcích, na přímkách, na maticích, dokonce jsme vytvořili grupu na grupách.

Ukázali jsme si zavedení grupy na bodech kružnice, dokázali jsme náležité vlastnosti a ukázali, že ji lze popsat i pomocí středových úhlů. Grupa, která se zadá podobným způsobem na takzvaných eliptických křivkách, pak má obrovský význam v šifrování.

Sobota 26. 8.

Úvod do vědy

Vědecká teorie musí být konzistentní, odpovídat již naměřeným datům (post-dikce), předpovídat (pre-dikce).

  • Falzifikovatelnost
  • Verifikace probíhá tak, že se jí nezdaří falsifikovat (nekonečný proces).
  • Occamova břitva

{Příklad}: gravitace

  • Andělé hýbou.
  • Ptolemaios: epicykly.
  • Kepler:
  • po elipsách,
  • průvodič opíše stejnou plochu za stejný čas.
  • Newton F= {m_{1}m_{2}\overr^{2}}:
  • vysvětlení pohybu planet,
  • přílivu a odlivu, slapové jevy,
  • vázaná rotace Měsíce,
  • padání kamenů,
  • predikce: objev Neptunu,
  • ale není jasné {proč} (stínění jako protipříklad: nefunguje).
  • Einstein, obecná teorie relativity:
  • postdikce: stáčení osy orbity Merkuru,
  • predikce: vychýlení paprsku světla v blízkosti např. slunce (ověřeno již v roce 1919),
  • a další...
  • Ale stále není konzistentní s kvantovou mechanikou.

{Příklad}: telekinetik v kasinu (já nevěřím, že umí předpovídat ruletu)

  • po dvou pokusech: stále náhoda,
  • po hodně pokusech: není náhoda, ale je domluven s majiteli kasina \Rightarrow jdeme jinam,
  • tedy: předkládám pořád pro mě přijatelnější teorie, ale ty předpovídají, kdy telekinetik zklame (tady: v cizím kasinu),
  • po všech kasinech ve městě (je domluven se všemi) si vyrobím vlastní ruletu,
  • telekinetik stále vyhrává,
  • pak, ale nejsem zdrcen (), že existuje něco, co neznám, naopak: jsem nadšen
  • zkoumám: na jakou vzdálenost, i přes zeď? i pod vodou? atd.

Pondělí 28. 8.

Geometrie

Nejdříve jsme zkoumali podobnost:

  • podobnost trojúhelníků (věta {uu }),
  • podobnost víceúhelníků (rozdělení na trojúhelníky),
  • poměr obsahů je k^{2}.

Z úloh o obsahu jsem zmínila:

  • narýsujte trojúhelník, pokud znáte všechny jeho výšky (a{:}b{:}c={1\overv_{a}} {:} {1\overv_{b}} {:} {1\overv_{c}}),
  • zjistěte obsah trojúhelníku, pokud jsou vyznačené obsahy P, Q, R jako na obrázku (S=(\sqrt{P}+\sqrt{Q}+\sqrt{R})^{2}).

Ukázali jsme si také, že osa úhlu dělí stranu v poměru přilehlých stran.

Jako poslední byla zmíněna Cevova věta: Přímky AZ, BY a CX (viz obrázek) se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí:

{|AX|\over|BX|} \cdot {|BZ|\over|CZ|} \cdot {|CY|\over|AY|}=1.

Programování

Vysvětlil jsem, co to je proměnná a funkce, a ukázal syntaxi na několika příkladech v jazyce C. Zkusili jsme si napsat funkce pro sčítání a odečítání a s jejich pomocí objasnit předávání parametrů a návratovou hodnotu.

Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou rozumným zobecněním reálných čísel. Je nám známo, že v oboru záporných reálných čísel nemá operace odmocňování smysl, např. rovnice x^{2}+1=0 nemá řešení. Zkusme tedy předpokládat, že řešení této rovnice je číslo i, nebo -i, tudíž platí i^{2}=-1. S touto představou lze ověřit, že řešením rovnice x^{2}-2x+2=0 jsou čísla 1+i a 1-i.

Podobně jsem postupoval v zavádění komplexních čísel. Probral jsem sčítání, násobení i dělení komplexních čísel v algebraickém tvaru (z=a+bi). Definoval jsem absolutní hodnotu komplexního čísla a tvar tzv. komplexní jednotky se znázorňováním v {Gaussově rovině}.

Na závěr jsem se jen rámcově zmínil o goniometrickém tvaru zápisu komplexního čísla. Jedná se o zápis: z=r(\cos {\varphi} + i \sin {\varphi}), kde r je absolutní hodnota čísla z a \varphi je úhel, který svírá spojnice bodů [a,b] a [0,0] s osou x v Gaussově rovině.

Úterý 29. 8.

Optimalizace v geometrii

Řada matematických úloh začíná slovy „najděte nejmenší číslo splňující“ nebo naopak „najděte největší“. Takovýmto úlohám se říká optimalizační a vyskytují se i v geometrii.

Jako motivační příklad jsme si uvedli úlohu nalezení nejkratší dráhy kovboje, který se chce vrátit domů, ale ještě předtím se chce občerstvit u řeky (případně chce zamířit k řece a také do lesa).

Dále jsme řešili, kam ve městě se čtyřmi domy postavit kašnu, aby součet vzdáleností od jednotlivých domů byl minimální nebo jak postavit síť silnic spojující čtyři města ležící ve vrcholech čtverce tak, aby její celková délka byla minimální.

Kromě minimalizace vzdáleností nás zajímaly jiné typy úloh, např. jak nejlépe oplocovat pozemek s daným kusem pletiva nebo jak kopat, abychom objevili drát v zahradě. Rovněž jsme zmínili pakovací a pokrývací problémy.

Ukazuje se, že mnoho optimalizačních problémů v geometrii je lehké zformulovat, ale velmi těžké dokázat.

Goniometrie

Na přednášce jsme si ukázali tyto vzorce:

\eqalignno{ \cos_gr((\alpha + \beta)) &= \cos_gr(\alpha)\cos_gr(\beta)-\sin_gr(\alpha)\sin_gr(\beta), \cr \sin_gr((\alpha + \beta)) &= \cos_gr(\alpha)\sin_gr(\beta)+\sin_gr(\alpha)\cos_gr(\beta), \cr \cos_gr((\alpha - \beta)) &= \cos_gr(\alpha)\cos_gr(\beta)+\sin_gr(\alpha)\sin_gr(\beta), \cr \sin_gr((\alpha - \beta)) &= - \cos_gr(\alpha)\sin_gr(\beta)+\sin_gr(\alpha)\cos_gr(\beta), \cr \sin_gr((2\alpha)) &= 2\sin_gr(\alpha)\cos_gr(\alpha), \cr \cos_gr((2\alpha)) &= \cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}, \cr \cos_gr((-\alpha)) &= \cos_gr(\alpha), \cr \sin_gr((-\alpha)) &= -\sin_gr(\alpha), \cr \tg_gr((\alpha + \beta)) &= {{\tg_gr(\alpha)+\tg_gr(\beta)} \over {1-\tg_gr(\alpha)\tg_gr(\beta)}}, \cr \sin {\alpha} + \sin {\beta} &= 2\sin_gr({(\alpha+\beta)\over 2})\cos_gr({(\alpha-\beta)\over 2}). \cr}

Čtvrtek 31. 8.

Hry

Řekli jsme si vyhrávající strategii k následujícím hrám:

  • Je hromádka 33 kuliček, 2 hráči se střídají v odebírání. Můžou vzít 1 nebo 2 kuličky. Kdo vyhraje? Jakou má strategii? (Vyhraje druhý a stačí mu vždy vzít doplněk do 3.)
  • Dva hráči připisují pod sebe čísla od 1 do 10. Pokud je součet po 6 tazích druhá mocnina, vyhrál druhý, v opačném případě vyhrál první. Kdo vyhraje a jak? (Vyhraje první, napíše 3, v dalším tahu doplní do 14, v pátém tahu doplní do 25.)
  • Je čokoláda Figaro (6 \times 4 dílků). Dva hráči se střídají v lámání. Každý zlomí jeden kus na dva. Kdo první vytvoří kostičku 1 \times 1 prohrál. Kdo vyhraje? (Vyhraje první, v prvním tahu zlomí čokoládu napůl a pak provádí osově souměrné tahy.)
  • V šachovnici m \times n je v levém horním rohu bílý král. Dva hráči tahají tak, že každé pole je přístupné maximálně jednou. Prohrál ten, kdo nemá tah. Kdo vyhraje? (Pokud je mn sudé, vyhraje první; pokud je mn liché, vyhraje druhý; vždy tak, že si šachovnici rozdělí na dominové kostičky a vyhrávající hráč táhne po stejné kostičce.)
  • Je dáno n bodů, každý má čtyři výběžky. Dva hráči se střídají v tazích. Každým tahem hráč spojí dva výběžky a přikreslí dva nové na spojnici. Spojnice se nesmí křížit. Prohraje hráč, který nemůže hrát. Kdo vyhraje? (Pokud je n sudé, vyhraje druhý; pokud je n liché, vyhraje první, ať už tahají jakkoli.)

Pravděpodobnost

Pokud výsledek nějakého pokusu není jednoznačně určen podmínkami, za jakých ho provádíme, ale závisí také na náhodě, mluvíme o náhodném pokusu (např. hod mincí, hod kostkou, losování, narození dítěte, účinek léku, vývoj kursu akcií).

Na několika příkladech jsme si ukázali, jak spočítat pravděpodobnost toho, že nějaké tvrzení o výsledku náhodného pokusu je pravdivé. Uveďme zde jeden z těchto příkladů. Zajímá nás pravděpodobnost, že existují dva účastníci tábora, kteří mají narozeniny ve stejný den. Bude lehčí nejprve spočítat pravděpodobnost, že taková dvojice neexistuje. Celou situaci si můžeme představit tak, že očíslujeme dny v roce čísly od 1 do 365 (pro jednoduchost neuvažujeme přestupné roky) a každý z 21 účastníků si náhodně vylosuje jedno číslo. Losování probíhá nezávisle na ostatních a po vylosování se číslo vždy vrací do osudí. Tento náhodný pokus má celkem 365^{21} = 365 \cdot ... \cdot 365 (číslo 365 se násobí 21 krát) možných výsledků, z toho situaci, že si všichni vytáhnou různá čísla, odpovídá 365\cdot364\cdot ... \cdot 345 výsledků (první losující má 365 možností, druhý už jenom 364, protože si nesmí vytáhnout stejné číslo jako první, atd.). Celková pravděpodobnost, že se žádní dva lidi nenarodili ve stejný den, je dána podílem počtu výsledků příznivých našemu jevu ku počtu všech možných výsledků:

{365\cdot364\cdot \cdots \cdot 345 \over 365\cdot365\cdot \cdots \cdot 365} \doteq 0{,}556.

Hledanou pravděpodobnost, že existují dva účastníci tábora narozeni ve stejný den, najdeme jako doplněk do jedničky: 1-0{,}556 = 0{,}444. Výsledná pravděpodobnost přes 44 procent se může zdát překvapivě vysoká, ve skutečnosti je však ještě vyšší. Musíme si uvědomit, že spočtený výsledek je vlastně odhad pravděpodobnosti, pokud neznáme data narození účastníků. Kdybychom je ovšem znali, tak zjistíme, že oba Mirkové se narodili ve stejný den v roce, a proto skutečná pravděpodobnost našeho jevu je stoprocentní.

Třídicí algoritmy

Na úvod jsem ukázal, jakým způsobem funguje {Selection sort } (třídění výběrem) a vysvětlil na něm časovou a paměťovou složitost.

Jako druhý algoritmus jsem vysvětlil {Bubble sort } (bublinkové třídění). Každému jsem dal lísteček s číslem a nechal je, ať se popsaným způsobem seřadí od nejmenšího k největšímu.

Stejným způsobem jsme si vyzkoušeli ještě {Quicksort}.

Matice

Matice, anglicky matrix, je uspořádání čísel do obdélníkové tabulky. Dá se použít k řešení soustavy lineárních rovnic. Pokud například chceme vyřešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých

\eqalign{ 2x + y &= 4, \cr x + 3y &= 7, \cr}

tak vypustíme názvy proměnných, rovnítka a podobné zbytečnosti a samotné koeficienty jednoduše zapíšeme do tabulky: