Matboj

Úlohy označené symbolem \ast_ast()\ast byly určené pouze pro žáky

  1. a 7. ročníků.

Úloha č. 1: Hodiny se každou hodinu zpozdí o 9 minut (tj. za půl hodiny o 4{,}5 minuty). Za jak dlouho zas budou ukazovat přesný čas, jestliže byly právě teď seřízeny?

Úloha č. 2: Ve škole je 12 učeben a 10 tříd. Sedm učeben je pro 40 studentů, tři učebny jsou pro 26 studentů a dvě učebny jsou jazykové pro 15 studentů. Kolika způsoby mohou být jednotlivé třídy rozmístěny po učebnách, jestliže mají následující počty žáků: 12, 12, 16, 18, 20, 21, 25, 26, 29, 30? {Pozn.:} V jedné učebně se vždy nachází nejvýše jedna třída.

Úloha č. 3: Mějme pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s hranou podstavy AB délky 10 cm a hranou AV délky 20 cm. Do něj vepíšeme jehlan KLMNW podstavou nahoru tak, aby byl podobný jehlanu ABCDV, vrcholy K, L, M, N ležely po řadě na hranách AV, BV, CV, DV a vrchol W ležel na čtvercové podstavě ABCD. Jaké jsou rozměry vepsaného jehlanu?

Úloha č. 4: \ast_ast()\ast Na základně AB lichoběžníku ABCD lze zvolit bod X tak, že AXCD je kosočtverec s hranou 5 cm a výškou 3 cm. Jaké rozměry má tento lichoběžník, jestliže poměr velikosti plochy kosočtverce AXCD a velikosti plochy zbytku lichoběžníku je 15:3?

Úloha č. 5: Princezna si vybírá ženicha z 2 050 princů. Protože je jich moc, postaví je do řady a vždy vyřadí všechny na sudých pozicích. Když dojde až na konec, začne se stejným způsobem vracet. Poslední princ, který zbyde, se stane jejím mužem. Kam si má stoupnout hloupý Honza, aby se stal králem?

Úloha č. 6: Dvanáct královských měst se rozhodlo vybudovat silnice mezi sebou, samozřejmě chtějí co nejvíce ušetřit, protože peněz není nikdy nazbyt. Přitom ale má být možno se po silnicích dostat z každého města do každého, a to i když bude jedna ze silnic rozbitá. Města stojí v mřížových bodech obdélníku (viz obrázek). Jak mají cesty vést, jestliže každá svislá stojí 1000 dukátů a každá vodorovná 500 dukátů?

Úloha č. 7: Standa má před sebou schodiště se dvaceti schody. Umí jít o dva nebo o jeden schod nahoru a nikdy se nevrací. Kolika způsoby se může dostat nahoru?

Úloha č. 8: Jeden šlechtic vlastnil v kraji pět hradů a asi proto, že byl matematik, pěkně si při stavbě vyhrál. Podíváme-li se z Hessenburgu na Licenburg, Piastin a Malicov, pak leží na kružnici se středem v Hessenburgu. Totéž lze říci na Piastinu při pohledu na Licenburg, Hessenburg a Malicov. Piastin je opět středem pomyslné kružnice. Galmonic od Hessenburgu je čtvrt dne cesty a Hessenburg od Licenburgu je půl dne cesty (vzdušné cesty). Při podhledu z Galmonicu na Piastin, Hessenburg a Licenburg se Hessenburg zdá být přesně uprostřed. Proveďte konstrukci.

Úloha č. 9: Svítilo slunce. Amazonka se koupala v kruhovém jezeře, když tu ji překvapil tygr a číhal na ni na břehu. Amazonka ale nedokáže věčně plavat, a tak se musí dostat na břeh. Tygr se po břehu pohybuje čtyřikrát větší rychlostí než Amazonka ve vodě.

Amazonka byla zrovna uprostřed jezera, když tygr dorazil. Dokáže se dostat na břeh dříve než tygr přesně v místě, kde má schovaný luk a šaty, jestliže je tygr přesně na opačném konci jezera?

{Pozn.:} Tygr je hloupé zvíře, a tak se pohybuje vždy tak, aby stál Amazonce co nejblíže.

Úloha č. 10: Máme nekonvexní čtyřúhelník, „vepsaný“ do kružnice o poloměru 6 cm tak, že jeden z jeho vrcholů leží ve středu kružnice a ostatní vrcholy leží na kružnici. Strany tohoto čtyřúhelníku jsou v poměru 5:5:6:8. Jakou má čtyřúhelník plochu?

Úloha č. 11: Kružnice k a l mají společný bod X. Poloměr kružnice k je 4 cm, poloměr kružnice l je 6 cm. Vzdálenost jejich středů je 2 cm. Kružnice m má střed S_{m} vzdálen 5 cm od středu S_{l} kružnice l a 7 cm od středu S_{k} kružnice l. Kružnice m protíná kružnice k a l v bodech Y a Z. Oba určují s přímkou S_{k}S_{l} stejnou polorovinu. Jaký má poloměr kružnice m, jestliže body X, Y a Z leží v jedné přímce?

Úloha č. 12: Ikaros se chystá skočit z útesu, když tu uvidí v dálce loď a rozhodne se, že sletí až k ní. Loď je vzdálena 500 m vzdušnou čarou od Ikara. Ikaros stojí 100 m nad hladinou moře. Loď má rychlost 10 m/s a pluje přímo od útesu s Ikarem. Ikaros má hned po skoku rychlost 20 m/s libovolným směrem a svou rychlost v průběhu letu nemění (má zázračná křídla). Jak dlouhý by byl nejkratší možný Ikarův let(letí po přímce), kterým by dosáhl lodě?

Úloha č. 13: Symbol kříže na obrázku:

  • rozdělte dvěma řezy na čtyři shodné části a z nich složte čtverec,
  • rozdělte pěti řezy na čtyři části a z nich složte čtverec.

Úloha č. 14: Chlapci našli peněženku. Dohodli se, že Kuba dostane třetinu, Honza čtvrtinu, Matěj pětinu a Vojta šestinu z aktuálního obnosu. V peněžence bylo deset mincí -- jedna dvoukoruna a dále koruny, pětikoruny a desetikoruny. Bohužel se ale nemohli rozdělit. Když uviděli cyklistu zastavili ho a požádali o drobné, aby se mohli rozdělit. Cyklista však drobné neměl, ale navrhl jim, že je rozdělí. Chlapci mu za to slíbili peněženku. Vhodil do peněženky 1 Kč. Chlapce podělil a odjel i s peněženkou. Chlapci si ale všimli, že jim ujel i s dvoukorunou navíc. Kolik peněz bylo původně v peněžence?

Úloha č. 15: Mějme čtyřciferné číslo, jehož devítina je právě číslo, které dostaneme, když zadané číslo přečteme odzadu. O jaké číslo se jedná?

Úloha č. 16: Do rovnostranného trojúhelníku ABC je vepsán kruh k. Další kruh l se dotýká stran AB, AC a kruhu k (vně). Obsah kruhu l je 2 cm^{2}. Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC.

Úloha č. 17: Uvažujme lichoběžník ABCD a označme K střed základny AB, L střed základny CD a M střed ramene AD. Jakou část obsahu lichoběžníku tvoří obsah trojúhelníku KLM?

Úloha č. 18: \ast_ast()\ast Doplňte do obrázku čísla od 1 do 16 tak, aby rozdíl čísel pod sebou byl vždy sudý a čísla vedle obrazce byly součty čísel v řádcích nebo sloupcích. Pečlivě odůvodněte postup!

Úloha č. 19: Nechť x=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+2005^{2} a y=1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+...+2004\cdot{2006}. Určete hodnotu x-y.

Úloha č. 20: Turnaje v piškvorkách se zúčastnilo 21 účastníků tábora. Každý s každým hrál právě jednou, vítěz získal jeden bod, poražený žádný, remíza nenastala. Po sehrání všech zápasů vytvořily body lidí aritmetickou posloupnost. Kolik bodů získal poslední člověk?

{Pozn.:} V aritmetické posloupnosti je rozdíl po sobě jdoucích členů stejný.

Úloha č. 21: Máme přirozená čísla od 1 do 13. Vytváříme množiny, v nichž součet nejmenšího a největšího prvku je 14. Kolik takových množin lze z takových čísel vytvořit?

Úloha č. 22: Máme krychli z bílého plastu a její povrch natřeme namodro. Nyní ji rozřežeme na n^{3} malých krychliček. Přitom barevných je více než bílých. Kdybychom však zvýšili n o 1, bude barevných krychliček už méně než bílých. Kolik je n?

{Pozn.:} Barevná krychlička je taková, která má alespoň jednu stěnu modrou.

Úloha č. 23: V elektrárně mají 1000 vypínačů, které obsluhují 1000 lamp. Každá lampa má své jedinečné číslo mezi 1 a 1000. Když stiskneme i-tý vypínač, přepne se každá lampa, která má číslo dělitelné i. Přepnutí znamená, že pokud lampa svítila, zhasne a obráceně. Na začátku byly všechny lampy zhasnuté. Pak jsme stiskli všechny vypínače. Kolik lamp svítí?

Úloha č. 24: Lenka má hrníček K s kávou a hrníček M s mlékem, oba stejně plné. Vezme lžičku mléka z M a naleje ji do K. Pak vezme z hrníčku K lžičku tekutiny a naleje ji do M. Tento postup ještě jednou zopakuje. Je více kávy v M nebo mléka v K?

Úloha č. 25: Eva si myslí nejmenší třinácticiferné číslo, které má následující vlastnost: Jestliže umažeme jeho první cifru a připíšeme stejnou cifru za poslední, vznikne osmkrát menší číslo. Řekněte Evě, na co myslí.

Úloha č. 26: \ast_ast()\ast Karel mluví jen pravdu každý druhý den. Ostatní dny lže. Dnes pronesl právě čtyři z následujících vět. Kterou větu nemohl dnes pronést?

  • Mám dohromady prvočíselný počet kamarádů a kamarádek.
  • Mám stejný počet kamarádů jako kamarádek.
  • Alespoň tři z mých kamarádů a kamarádek jsou starší než já.
  • Číslo 288 je dělitelné 12.
  • Vždy říkám pravdu.

Úloha č. 27: \ast_ast()\ast Máme osm koleček s postupně 60, 55, 40, 32, 20, 40, 50 a 30 zuby. Kolečka jedno do druhého zapadají svými zuby. Kolikrát se otočí poslední kolečko, jestliže prvním otočíme třikrát?

Úloha č. 28: Michal násobil čísla $27 \cdot 35 \cdot 11 \cdot 72 \cdot 39 \cdot 56 \cdot 41 \cdot 64 \cdot 77 \cdot 26 \cdot 63 a vyšlo mu 540 976 098 469 ?47 040$. Papír si však polil čajem a číslice na místě otazníku se mu smazala. Jaká číslice to byla?

Úloha č. 29: V Potru Melenudu bydlí 50 bohatých lidí. Všichni ostatní jsou chudí. Deset procent chudých si o sobě myslí, že jsou bohatí. Deset procent bohatých se považuje za chudé. Poslední Štěpánova anketa ukázala, že dvacet procent obyvatel si o sobě myslí, že jsou bohatí. Kolik chudých lidí žije v Potru Melenudu?

Úloha č. 30: Potro Melenudo a Vaca Pequ {e}na dostaly od vlády z Washingtonu grant na stavbu železniční stanice na přímé železniční trati, která vede nedaleko nich: Potro Melenudo je od ní vzdáleno 5 km a Vaca Pequ {e}na 7 km. Města jsou od sebe vzdálena 4 km a neleží mezi nimi železnice. Z každého města má do stanice vést přímá silnice, obě silnice mají dohromady měřit 18 km. Sestrojte plán silnic v měřítku 1:50 000.