Přednášky

_use(texmac)

Přednášky rozvrhoval Viki.

út17 8:45 v: Historie matematiky
l: Diofantické rovnice
10:00 d: Množiny bodů v rovině (Planimetrie)
s: Výroky
st18 8:45 g: Grafy
x: Počítačová bezpečnost
10:00 z: Euklidovské konstrukce
w: Zobrazení předmětů
čt19 8:45 v: Algoritmické problémy
d: Geometrie v prostoru (Stereometrie)
10:00 x: Hudba
z: Pravděpodobnost
pá20 8:45 s: Letní obloha
w: Věda a umění
10:00 d: Shodná a podobná zobrazení
s: Letní obloha (opakování z rána)
so21 8:45 x: Počítačová bezpečnost (pokračovaní)
l: Pappovy ulohy
10:00 x: Polynomy a funkce
v: 4D stereometrie
út24 8:45 s: Kombinatorika
v: Teorie relativity
10:00 w: Komplexní čísla
g: Dělitelnost
st25 8:45 x: Derivace
z: Feuerbachova kružnice
10:00 l: Posloupnosti
g: Alice a Bob

Úterý 17


Historie matematiky

Přednáška bude probíhat tak, že budu postupně psát na tabuli letopočet a vedle něj napíši chlapa. Pak na něj řeknu, nějaký drb.


Přehled:

624--547 BC Thales Miletsky (t)
580--520 BC Pythagoras (rek)
490--430 BC Zenon z Eleje (rim)
460--350 BC Demokritos (rek)
325--265 BC Euclid (egypt)
262--190 BC Apolonius (rek)
287--212 BC Archimedes ze Syrakus (+krivka)

780-850 al-khwarizmi
1452-1519 Leonadro da Vinci
1473-1543 Mikuláš Koperník
1564-1642 Galileo
1596-1650 René Descartes
1601-1665 Fermat Pierre
1623-1662 Blaise Pascal

(1656-1742)  Halley 
(1707-1783)  Euler 
(1777-1855)  Carl Friedrich Gauss
(1790-1868)  Fedinand Mobius
(1781-1848)  Bolzano 

(1889-1953)  Hubble 
(1898-1972)  Escher 

(1908-1989) sobolev


Diofantické rovnice

Diofantickou rovnicí se rozumí algebraická rovnice s celočíselnými koeficienty a s neznamými, které mohou nabývat pouze celočíselných hodnot. Nazývá se tak proto, že se jí zabýval řecký matematik Diofantos. Bude nás zajímat lineární diofantická rovnice o 2 neznámých tvaru ax + by = c. Ukáži algoritmus řešení a několik příkladů.


Množiny bodů v rovině

Každý ví, jak vypadá množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od dvou pevně daných bodů. Je to osa úsečky určené těmito body. Jiná známý fakt je například, že množina všech bodů C takových, že pro pevně dané body A a B je úhel \angle ACB pravý je Thaletova kružnice, tedy kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB.

Na přednášce si povíme o jiných takových množinách. Množina bodů, jejichž součet vzdáleností od dvou pevně daných bodů je konstantní, množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu a přímky a jiné budou na přednášce popsány. Překvapivá bude možná množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou kružnic.


Výroky

Jak to ti matematici dělají, že se domluví? Co je to výrok a co ne? Co pro matematika znamená a, nebo, když...tak a co je to negace? K čemu je slovo právě a kdo jsou malý a velký kvantifikátor? No a nakonec možná přijde i zebra.

Středa 18


Grafy

Pluhování zavátých silnic s co nejmenší námahou -- odevšad všude se dostaneme. Neboli: stále hladový pan algoritmus po sobě zanechává jen minimální kostry.

Jak najít nejkratší cestu ze Strážnice do Prahy? (Dijkstrův algoritmus)

Mosty v městě Královec a domečky jedním tahem (Eulerovské tahy).


Počítačová bezpečnost

Žádný program není bez chyby. Nejlepší chyby jsou ty, které dovolí uživateli něco, co by se nemělo stát. Jak takovéhle chyby můžou vznikat, jak se dají zneužít, jak se proti nim bránit? Jak se dá útočit na chyby v lidech? Proč nemám pouštět soubor vtipek.exe, který mi přišel od kamaráda?

Doporučené předpoklady: Schopnost spolupráce s počítačem. Čím lepší, tím víc budete rozumět.

Autor pracuje jako hacker.


Euklidovské konstrukce

Výrazem euklidovské konstrukce se rozumí takové geometrické konstrukce, při nichž se používá pouze pravítko a kružítko (samozřejmě taky tužka a papír). Přičemž pravítko se považuje za absolutně rovné bez žádného měřítka, nelze tedy podle něho měřit délky nebo sestrojovat kolmice pomocí rysky. Kružítko se považuje za absolutně přesné, lze jim sestrojit jakkoli velké i malé kružnice.

Jedním z klasických geometrických problémů je rozhodnout, které pravidelné mnohoúhelníky lze sestrojit jen za pomocí pravítka a kružítka. Není pravda, že by každý pravidelný mnohoúhelník šel takto zkonstruovat, například pravidelný sedmiúhelník, devítiúhelník nebo jedenáctiúhelník nejsou euklidovsky sestrojitelné.

Mezi další slavné problémy starověku patří kvadratura kruhu, zdvojení krychle, trisekce úhlu nebo rektifikace kružnice. Až v 19. století bylo dokázáno, že tyto úlohy jsou pravítkem a kružítkem neřešitelné. Ačkoli euklidovské konstrukce nemají pro praxi velký význam, protože neeuklidovské konstrukce jsou postačující a často i přesnější, jsou určitě podnětné pro rozvoj matematického myšlení.


Zobrazení předmětů

Perspektiva při kreslení.

Deskriptivní geometrie, odborné kreslení.

Řezy těles. Úloha: Vézt řez třemi zadanými body na tělese.

Čtvrtek 19


Algoritmické problémy

Probrány budou základní hříčíky na procvičení algoritmického myšlení.

Kuličky: je dáno 13 kuliček a jedna z nich ma různou váhu. Zjistěte na 3 vážení, která to je.

Velbloud a banány: Velbloud spotřebuje banán na míli. Máš 3000 banánu a do oázy je to 1000 mil. V oáze se plátí jedna zlatá cihla za banán.

Sud a sklenice: v sudu jsou v horním víku 4 díry akorat velikosti rukou, v sudu jsou 4 sklenice. Tvým úkolem je dostat sklenice do stejné polohy (všechny dnem vzůru, nebo všechny dnem dolů).

Superletadla: máte 3 super letadla. Suprovost těchto letadel spočívá v tom, že dokáží na jedno natankování obletět půl světa. Také dokáží přečerpávat palivo za letu. Ale maji jen jedno superletiště.

Hanojské věže.

Vlk koza zelí.

Nádoby na vodu: 3l, 5l, 8l(plná) odměřte 4l.

a jiné


Geometrie v prostoru

Mnoho pojmů a úloh, které známe z geometrie v rovině má svou analogii v prostoru. Obvykle je zde situace složitější. Například v rovině se dvojice přímek mohla nacházet jen ve dvou různých polohách (rovnoběžky a různoběžky), v prostoru navíc mohou být dvě přímky mimoběžné. Mohlo by se zdát, že roli přímek v tomto případě zaujímají roviny, avšak budeme-li zkoumat možnou polohu tří rovin v prostoru, zjistíme, že situace je komplikovanější než u tří přímek v rovině.

Jiné pojmy jsou zase velice analogické, například přímku určují dva body, rovinu tři; kružnici body tři a sféru čtyři. V přednášce se z uvedeného zaměříme jednak na možné polohy objektů v prostoru a také na měření úhlů mezi objekty v prostoru.


Hudba

Tuhle jsem viděl člověka, jak drží dřevěnou skříňku a tahá za natažené dráty/bouchá do dřevěné skříňky s černobílým vzorkem/fouká do plechové trubky, a přitom jsem slyšel nějaké přijemné zvuky. Zajímalo mě, co to je, tak jsem se to pokusil naučit taky. Na přednášce se pokusím shrnout, co jsem o tom zjistil, a speciálně se rozhovořit o některých věcech, které mi při tom docela pomohly.

Doporučené předpoklady: Schopnost spolupráce s hudebním nástrojem, nejlépe znalost not


Pravděpodobnost

Velmi často se setkáváme s tím, že výsledek nějakého pokusu závisí nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě (např. hod mincí, hod kostkou, tah sportky, narození dítěte, účinek léku na pokusném zvířeti, vývoj kursu na akcií na burze). Jedná se o tzv. náhodný pokus. U každého náhodného pokusu existuje několik možných výsledků. Nás zajímá pravděpodobnost, že nastane některý z výsledků (například, že při hodu dvěmi kostkami padne součet 8 nebo že vyhrajeme první cenu ve sportce). Na některých příkladech si vysvětlíme, jak se dá taková pravděpodobnost spočítat. Přednáška bude obsahovat jiné příklady než byly loni, především bych se rád zaměřil na použití geometrie v pravděpodobnosti, proto ti, kteří ji na loňském táboře slyšeli a líbila se jim mohou klidně přijít.

Pátek 20


Letní obloha

Je Velký vůz jediné souhvězdí které znáte? A co takhle Labuť, Delfín, Orel nebo Lyra? Myslíte že souhvězdí Herkules se jmenuje podle stejnojmenného suchého salámu? Chyba! Co by také salám dělal na nebi, že? A jak se tam tedy ten Herkules dostal? O tom a mnoha dalších souhvězdích bude tahle přednáška.


Věda umění

Architektura - stavební plochy a jejich vlastnosti,

odlišnosti v architektuře různých slohů.

Malířství - geometrie a perspektiva malby,

odlišnosti v zobrazování různých slohů.

Je zadán půdorys a nárys. Úlohou je nakreslit v perspektivě daný objekt.


Shodná a podobná zobrazení v rovině

Shodné zobrazení roviny je takové, že vzdálenost každé dvojice bodů se při zobrazení zachová. Z této vlastnosti už plyne například zachovávání velikosti úhlů. Shodných zobrazení existuje jen několik málo, a dokonce, každé se dá složit z nejvýše tří osových souměrností. Podobné zobrazení je takové, že vzdálenost bodů se sice změní, ale pouze tak, že se stane nějakým pevným násobkem vzdáleností vzorů.

V přednášce si ukážeme, jak lze zobrazení elegantně použít při řešení některých konstrukčních úloh a taky si povíme, jak zobrazení skládat či rozkládat na osové souměrnosti.

Sobota 21


Pappovy úlohy

Mějme zadánu buď kružnici a na ní bod anebo přímku a na ní bod, k tomu ještě mimo mějme daný bod nebo kružnici nebo přímku. Pappova úloha je konstrukční úloha, ve které hledáme kružnici, která se dotýká všech zadaných útvarů. Například máme zadánu kružnici a na ní bod a přímku mimo tuto kružnici a naším úkolem je sestrojit kružnici, která se dotýká zadané kružnice v daném bodě a rovněž se dotýká dané přímky. Různou volbou zadaných útvarů můžeme získat 6 různých Pappových úloh.


Funkce, polynomy

Dodám...


4d krychle

V přednášce bude učiněn pokus o vhled do 4D geometrie. Pomocí extrapoloací z nižšších dimenzí se nahlédne na to jak vypadá krychle ve vyšších dimnezích (i více než 4D), a jaké má základní vlastnosti (počet vrcholu, hran, stěn, těles).

Z analogií z 3D se odvodí základní operace pro řez teseratku prostorem.

Jsou to:

  • pokud dva body leží v tomtéž prostoru(\rho) leží tam i přímka jimi proložená.
  • pokud přímka a bod leží v \rho pak tam leží i přímka procházející oním bodem rovnoběžná s onou přímkou.

Prostor je zadaný čtyřmi body, ležícími na hranách teseraktu. Úkolem je nakreslit řezové těleso. Různým rozmístěním jsou dáný různé (i obtížnostně) úlohy.

Příklady těles budou ukázany.

Úterý 24


Kombinatorika

Zajímá vás kolika různými způsoby se můžete obléknout když máte 3 trička dvoje ponožky a jedny kraťasy? Nebo kolik týdenních jídelníčků vymyslí ve školní jídelně když umí uvařit jen 5 různých jídel? A nebo už tohle všechno víte a chtěli byste se dozvědět proc se zlomkům bez zlomkové čáry říká kombinační čísla a proč faktoriál pořádně unaví většinu kalkulaček.


Teorie relativity

První část: pokus o vysvětlení principu speciální teorie a zakřivovací analogie obecné teorie relativity. Odvození vztahů speciální teorie relativity na základě postulátu o konstantní rychlosti šíření světla.

Několik dekorativních příkladů. Jak nacpat tirák do garáže pro trabant, Proč nejde překročit rychlost světla.

Druhá čast: popis experimentů které ověřují plastnost teorie relativity s trochou historie.

19/2 Maxwellova teorie, předpovídá konstantní rychlost šíření světla.
1887 Michaelsonův pokus, vyvrací konstantí rychlost šíření světla.
1905 Einstein nahodil str.
1915 Einstein nahodil otr.
19/2 Merkur se lehce odchyluje od Newtonem určené drahy.
1919 Artur Eddington: zatmění slunce v zap. africe potvrdilo Otr předpověď.
Další: miony, přistání na marsu.

Část třetí: Fyzikální teorie: dokáže se, že je pravdivá?


Komplexní čísla

Jak vypadají komplexní čísla. Operace s nimi.

Znázornění v Gaussově rovině.

Moivreova věta.

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel.


Dělitelnost

Dělitelnost. Budeme se zabývat dělitelností přirozených čísel. Přirozená čísla jsou 0, 1, 2, 3, ...

Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel. Algoritmus, jak je najít. Nesoudělná čísla jsou ta, jejichž největší společný dělitel je 1.

Co jsou prvočísla? Jsou to ta čísla, která mají dělitele jen 1 a samo sebe. Je jich nekonečně mnoho.

Rozklad čísel na prvočinitele.

Středa 25


Derivace

Jak poznám, kdy jde funkce nahoru? Kde je nejvýš a kde nejníž? Jaký je rozdíl mezi plus nulou a minus nulou? Co je to nekonečno?

Doporučené předpoklady: Funkce


Feuerbachova kružnice

V trojúhelníku se všechny tři těžnice protínají v jednom bodě (těžišti). Stejně tak se v jednom bodě protínají výšky (v ortocentru) a osy stran (ve středu kružnice trojúhelníku opsané). Zajímavé je, že všechny tyto tři průsečíky leží na jedné přímce, které se říká Eulerova přímka.

Na Feuerbachově kružnici zase leží devět významných bodů trojúhelníka, jsou to středy stran, paty výšek a středy úseček spojujících vrcholy s průsečíkem výšek, proto se ji také říká kružnice devíti bodů. Navíc se dá ukázat, že střed této kružnice leží na Eulerově přímce.


Posloupnosti

Posloupnost čísel a_1, ...) se nazývá aritmetická, jestliže každý její člen je vytvořen tak, že se k předcházejícímu členu přičte pevné číslo d, kterému se říká diference. Platí tedy a_{n+1} = a_{n} + d.

Naproti tomu pokud každý člen vznikne vynásobením předchozího kvocientem q, dostaneme geometrickou posloupnost. Pro ní platí a_{n+1} = q a_{n}. Na přednášce si probereme, jak se s těmito posloupnostmi dá počítat.

Další zajímavou posloupností je Fibonacciho posloupnost (a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}), pomocí ní se totiž dá ukázat, jak se množí králíci.


Alice a Bob

Malá Fermatova věta: Nechť p je prvočíslo, a libovolné přirozené číslo. Potom p \mid (a^{p} - a).

Eulerova funkce, vlastnosti, výpočet. \phi=počet přirozených čísel \le n Pro prvočísla je \phi=p-1. Pro mocninu prvočísla je \phi=p^{k-1}\cdot(p-1). Když a a b jsou nesoudělná, tak \phi=\phi\cdot\phi(b).

Eulerovo zobecnění MFV: Nechť a a n jsou nesoudělná čísla. Pak n \mid (a^{\phi(n)}-1).

K čemu jsou nám dobrá velká prvočísla? Jak poznáme, že velké číslo je prvočíslo? Některé testy prvočíselnosti. Nikdy si nemůžeme být jisti (nebo si na to počkáme pořádně dlouho).

Kryptografie s veřejným klíčem. RSA. Digitální podpis.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%