Zadání 3. série 34. ročníku

Termín odeslání: 14. 1. 2019

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


„Ve znamení Tasemnice?“ zeptal se zdravotník turnaje Šašišanda podivínského rozhodčího.

„Ano, náš občasný sponzor, privatizátorka Květa Beďar, se narodila 21. 8., a tedy ve znamení Tasemnice, jak tvrdí profesionální astrolog Gregar. A protože se náš turnaj každoročně hraje taky zrovna ve znamení Tasemnice, rozhodla se podpořit turnaj částkou, kterou Gregar určil podle konjunkce souhvězdí Pěsti a souhvězdí Oka na 85\,085 korun. Ale až na příští ročník! A hlavně trvá na tom, že celá částka bude formou záporného startovného demokraticky rozdělena mezi hráče a každý musí tedy dostat přesně celé koruny,“ odpověděl důkladně rozhodčí.

„To je docela balík, to musíme dostat a nejdůležitější bude rozepsat ty prachy mezi hráče, kterým je jakoby dáme!.“ zajásal šetrný Šašišanda, „takže musíme nafixlovat dokonalou startovní listinu, kde bude možné podle počtu hráčů tu částku beze zbytku rozdělit! Takže musíme nejdřív zjistit, kolika způsoby jde beze zbytku na celé koruny rozdělit 85\,085. Zjistíme to?“

„Zjistíme! Jdu se zeptat exmatfyzáka Fleka,“ pohotově zareagoval rozhodčí.


Úloha č. 1

Kolik má číslo 85\,085 dělitelů?


Robert Flek možnosti příští startovní listiny samozřejmě zjistil, ale dění kolem nadějné dotace pokračovalo. „Spiritistická seance není žádný autistický dýchánek!.“ rozčílil se zdravotník a psycholog turnaje Šašišanda, když po několikáté zaslechl poznámky skeptických hráčů.

„To, že pořadatelům s plánováním financí pomáhají spiritismem hlavně hráči z řad matfyzáků a exmatfyzáků neznamená, že tuto přísně vědeckou metodu bude někdo zlehčovat!.“ Pořadatele, Šašišandu a rozhodčího, totiž mučila nejistota, jestli Květa Beďar opravdu mohutnou dotací přispěje, a doufali nalézt potvrzení svých nadějí prostřednictvím záhrobního poradenství skrze spiritismus. Ochotní spiritisté mezitím už testovali, zda jako média už mají provozní teplotu. Sedlo si deset spiritistů a začali hrát analogii tiché pošty, takže každý spiritista dostane nějaké číslo, vynásobí ho nějakým přirozeným číslem a pošle dál. První začal jedničkou a jak se mezi matfyzáky dalo očekávat, poslední řekl číslo devět. (většina spiritistů násobila jedničkou, protože to dá nejméně práce). Potom začali pátrat, kdo řekl které číslo, a první se ozval šestý spiritista, který řekl: „Ať přemýšlím, jak chci, vím jen svoje číslo.“


Úloha č. 2

Spiritisté hráli analogii tiché pošty, takže každý dostal od předchozího nějaké číslo, vynásobil ho svým přirozeným číslem a poslal dál. První dostal jedničku, a jak se dalo očekávat, desátý (poslední) řekl číslo devět (většina násobila jedničkou, protože to dá nejméně práce). Potom začali pátrat, kdo řekl které číslo, a po chvíli se jako první ozval šestý, který řekl: „Ať přemýšlím, jak chci, vím jen svoje číslo.“ Potom se ozval třetí: „Já tedy vím čísla všech od prvního až po šestého.“ Potom se ozvali, že vědí všechno, hned dva najednou. Víš už, kterým číslem kdo násobil?


Exmatfyzák Flek vychrlil čísla, kterými jednotliví spiritisté násobili, a už se vyptával podivínského rozhodčího, koho ze záhrobí se na dotaci bude nejlepší zeptat. „To je jedno. On se nějaký práskač ozve. Jen je třeba vyrobit dotazovací desku. Na internetu jsem našel návod na desku půlobdélníkového tvaru, ale návod je na mě složitý, chybí mi tam jeden úhel.“


Úloha č. 3

Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu A. Úhel ACB je 30^{\circ}, P je bod na AC takový, že |CP|=2|AP|. Zjistěte velikost úhlu PBA.


Flek rychle problém vyřešil.

Tu ho zarazil zdravotník Šašišanda: „To je blbost! Kašlete na desku, ta je prý nebezpečná i pro běžnou populaci, natož pro duševně mnohdy křehké šachisty. Bude stačit se rovnou zeptat těch záhrobních čmuchalů, jestli můžou zjistit, co má Květa Beďar za lubem…“

V tom do náročné diskuze razantně vstoupil jinak zádumčivý velmistr Rolák: „Na stole rozhodčího jdou nějak tajemně hodiny…“

Rozhodčí zaúpěl: „Ano! Nějaký vtipálek si asi hrál s mými speciálními šachovými hodinami! Běda! Teď už ani nevím, kolik bylo na obou hodinách nastaveno a jaká doba od vandalského zločinu uplynula… jsem zmaten…“

Šachisté mají k hodinám vůbec divný vztah. Hráči sami totiž hodinky nenosí, protože je v roztržitosti velmi často ztrácí, sundávají či někde zapomínají… Geniální hráč David Almara si jednou v rozrušení při časové tísni v koncovce tří koní proti dvěma, když třetího koně získal velmi originálně proměnou pěšce, nevědomky náramkové hodinky sundal a snědl.

Skutečně. Nějaký zlomyslný šachista poťouchle zřejmě tvrdým úderem na oba caplíky šachových hodin rozhodčího spustil chod obou hodin najednou. Šachové hodiny rozhodčího byly ale cinknuté, to znamená, že jedny hodiny – ty které měřily vždycky čas jejich majitele – se zpožďovaly, zatímco hodiny soupeře se předbíhaly. Majitel hodin tak získával nenápadnou časovou výhodu, podobně jako se svými hodinami dělávají jiní šachisté a hlavně blickaři jako velmistr Maruna. Možná chtěl nějaký rebel touto cestou denunciovat rozhodčího… Exmatfyzák Flek však dávno věděl, že i hodiny rozhodčího jsou cinknuté a chtěl hlavně pokračovat v turnaji, když už do talismanů investoval takové peníze. „O kolik se hodiny zpožďovaly či předbíhaly a kolik ukazují?“ zeptal se rozhodčího.

„Pak je ale jasné, na kolik hodin byly oboje hodiny shodně nastavené a před jakou dobou do nich někdo praštil!.“


Úloha č. 4

Máme dvoje hodiny. Jedny se za hodinu zpozdí o 12 minut, druhé předběhnou o 4 minuty. Teď jedny ukazují 12:40 a druhé 13:20. Víme, že někdy byly oboje najednou seřízeny na správný čas. Kolik je hodin a kdy byly seřízeny?


Velmistr Flek sice bravurně spočítal, na kolik hodin byly podvodnické hodiny původně nastavené a před jakou dobou, ale na další průběh turnaje a hlavně na Flekovu úspěšnost to stejně nemělo vliv. Jeho soupeř velmistr Lechtavý hrající černými se totiž pod záminkou tlumení bolesti srdce způsobené provalenou nepoctivostí rozhodčího patrně předávkoval svými oblíbenými analgetiky, což ovlivnilo jeho styl hry, takže jeho superdefenzivní obrana spočívala v tazích pouze koněm z b8, kterým neustále skákal na c6 a zase zpět na b8 a naprosto se nenechal vyprovokovat k nějaké ukvapené akci. Velmistr Flek pochopitelně nebyl na tuto zákeřnost teoreticky připraven, vylákat soupeře do otevřeného kombinatorického boje se mu nepodařilo ,a tak musel po 683. tahu nabídnout remízu, kterou Lechtavý přijal tím, že proti ní neprotestoval. Pouze nadále hleděl skelným zrakem sveřepého obránce jakoby skrz velmistra Fleka a cukal levým okem.

Robert Flek byl s remízou po této vysilující hře velmi nespokojen, protože prakticky po celou partii stál o poznání aktivněji bez toho, že by obětoval materiál, a současně velmi prozíravě nestavěl dámu na c6, ani když by to jeho pozici zdánlivě ještě vylepšilo. Svůj neúspěch pochopitelně přisoudil opětovnému selhání amuletu, a proto se zeptal Šašišandy, jak zjednat nápravu. Svámí Šašišanda okamžitě nabídl diagnózu i terapii: „Tvůj amulet vyzařuje málo astrální energie, bude ho třeba nabít. Máš štěstí, že je zrovna úplněk, v noci nech na svůj čtyřstěnný fialový amulet harmonicky působit magický svit měsíce a budeš vítězit i nad Lechtavým. Půjčím ti astrální gril na pravidelné otáčení. Na něj amulet napíchneš a necháš otáčet, ale musíš mi přesně říct, jak dlouhá část ráhna bude uvnitř amuletu v měsíčním stínu, tu budu muset natřít odvarem z marlborek, abych vyrovnal astrální nasycenost po celé délce ráhna a ráhno se astrálně nezkroutilo.“


Úloha č. 5

Mějme pravidelný čtyřstěn. Těžištěm (středem) tohoto čtyřstěnu prochází přímka rovnoběžná se dvěma podstavami tohoto čtyřstěnu. Spočtěte délku části této přímky, která je uvnitř tohoto čtyřstěnu.


Sotva stačil Šašišanda pomoci zoufalému Flekovi, už se k němu blížil rozrušený rozhodčí. Zádumčivý velmistr Rolák se mu svěřil, že sice prohrál na čas vyhranou koncovku dvou stejnopolných dam proti dvěma nestejnopolným střelcům, protože dva tahy před matem usnul, ale zdál se mu přitom živý sen o černých pampeliškách, což asi není jen tak a bylo by třeba sen vyložit. Svámí Šašišanda, který se samozřejmě vyzná i ve výkladu snů, usoudil, že by to mohlo znamenat, tak na turnaj dorazí tajemný sponzor, a neprodleně Roláka vyhledal.

„Bylo v tom snu ještě něco mimo ty pampelišky?“ zeptal se ho. „Bylo. V těch pampeliškách se procházel nějaký bafuňář, co plakal nad úkolem sestavit ideální šachovou soutěž družstev podle nových regulí FIDE: součet všech hráčů v celé soutěži + dvojnásobek počtu družstev a dvojnásobek počtu hráčů v jednom družstvu musí dát dohromady ideální počet členů vedení soutěže, kde nesmí být ani nejmenší nesvornost. A když to zjistím a při další vyhrané koncovce mu to povím, že našemu turnaji pošle sponzora.“

„Já jsem to tušil!.“ zajásal Šašišanda, počty hráčů i počty družstev jsou jistě celá čísla. „Zavolejte Fleka!.“ Velmistr Flek zkušeně převedl požadavek mezinárodní šachové federace do rovnicové podoby a řešení rovnice si labužnicky vychutnal.


Úloha č. 6

Řešte v celých číslech rovnici ab+2a+2b=1.


„Velmistr Rolák se zbláznil! Nebo nezná regule FIDE. Nebo by před partií neměl jíst ta obrovská množství hrachové kaše, která možná způsobuje zkreslené vnímání živých snů a další mnohem výraznější efekty. Možná ale taky Flek nepřevedl zadání FIDE do rovnicového tvaru. Ten výsledek je divný, ale třeba Rolák zase usne v koncovce a třeba i za tenhle výsledek opravdu něco vyžebrá. Hlavně ho pak nebuďte!.“ zavelel rozpačitý rozhodčí.

A opravdu. Hned v další partii proti správně nalosovanému exmatfyzákovi Viťasovi, který byl velmi spolehlivým soupeřem tzv. na odstřel, stál velmistr Rolák už po 8. tahu na výhru dvojtahovým matem, který viděl i jinak šachově zcela slepý soupeř. Bohudíky, Rolák nafouklý oblíbeným dopingem zase usnul. „Sláva!.“ zajásal Viťas a připsal si první bod v turnaji. „Sláva!.“ zajásal Šašišanda a netrpělivě čekal, s jakým vzkazem z říše snů se Rolák probudí. Rolák se probudil poněkud zmaten: „…asi jsem to trochu popletl, ale někoho nám prý ze záhrobí pošlou…“ neurčitě odbyl lačného Šašišandu.

A poslali. Nebyl sice tak úplně dokonalý sponzor, ale byl to aspoň podomní obchodník s projekční technikou Mirek Kubák. Jeho nabídka byla lákavá: nabízel například výrazné zatraktivnění soutěže prodejem přístroje na promítání nejzajímavějších momentů turnaje na zeď, aby o kouzlech královské hry mohlo diskutovat co nejvíce zasvěcenců. „Správně! Ať je vidět, jak to tu, vy žabaři, mršíte!.“ zahulákal velmistr Maruna známý svou nevlídností k soupeřům.

Obchodník Mirek ale okamžitě správně odhadl možnosti zákazníka a vybalil poměrně starší ale velmi zlevněnou a přitom složitou promítací soupravu Savětskij projektor. Potíž byla s instalací této techniky. Protože se jednalo o tzv. trojrozměrný obraz, projekce probíhala ze třech různých míst a ta bylo nutno přesně zaměřit. Mezi prvním a druhým projektorem a druhým a třetím projektorem musí být stejná vzdálenost, zadní projektor promítá pod úhlem 20\deg k středu promítací plochy, prostřední pod úhlem 40°, a když začal elegantním metrovým úhloměrem měřit velmistr Flek úhel, pod kterým se bude promítat z prvního projektoru, připletl se do zaměřování velmistr Marek Klofáč, který měl nějaké patrně užitečné připomínky, ale nebylo mu dobře rozumět, jelikož mu pořád ještě chyběl umělý chrup, který mu vypadl už na začátku turnaje, když zíval a který mu tak nešťastně rozšlápl velmistr Maruna.

„Uhni, šišloune!.“ oslovil ho vlídně Robert Flek, ale to Klofáče nečekaně rozzuřilo a své emoce vybil na úhloměru, který rozlámal na maličké kousky.

„Jak dokončíme zaměření promítací soustavy?“ zabědoval Šašišanda.

„Žádný problém, já to spočítám!.“nabídl se nenápadný mezinárodní mistr Konopný, „studoval jsem královskou hru v Sajuzu, já to zvládnu levou zadní.“


Úloha č. 7

Mějme na přímce dvě promítačky (AB) a reprák (R). Vzdálenosti mezi dvěma promítačkami i bližší promítačkou a reprákem jsou stejné. Střed plátna (P) je v místnosti umístěn tak, že úhel |\angle RAP| = 20° a úhel |\angle RBP| = 40°. Jaký je úhel |\angle ARP|?


Mezinárodní mistr to sice zvládl, ale mágové šachové hry se nakonec uskromnili a úplně se spokojili s promítáním z jednoho projektoru. A ani nebylo třeba složitě zobrazovat komplikované diagramy ze skvostných partií turnaje, obrovský úspěch totiž sklidilo Mirkem nabídnuté promítání Simpsonů, takže radostné výskání velmistrů dlouho otřásalo hracím sálem. Promítací aparatura byla samozřejmě zakoupena, a protože byli Simpsony nadšení i pořadatelé, bylo rozhodnuto, že promítání Simpsonů bude pokračovat i místo dalšího turnajového kola. A aby se turnaj nezdržel, byly všechny partie zrušeného kola kontumačně zremízovány, přesně podle mezinárodních pravidel FIDE.