Zadání 2. série 34. ročníku

Termín odeslání: 17. 12. 2018

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


„Zívají!.“ plačtivě pronesl podivínský rozhodčí šachového turnaje. „Hráči zívají, až mám obavy, že si někteří vykloubí čelist. Anorektickému velmistrovi Marku Klofáčovi už při zívání dvakrát vypadl umělý chrup, přičemž podruhé, než ho stačil sebrat, mu ho omylem rozšlápl velmistr Eduard Maruna a byl z toho velmi nešachový konflikt. Marek teď šišlá a není mu rozumět, když reklamuje opakování tahů. Musíme zabránit dalším tragédiím.“

Navrhl jsem slzícímu rozhodčímu zpestření typicky nudného turnaje nějakou šachovou atrakcí. Rozhodčí mě objal: „Máš pravdu! Nejlepší by bylo něco světového! Amerického! MADE IN USA! To by snad přestali zívat!.“ Hned mě napadlo zkusit Fischerovy šachy – jsou MADE IN USA, ale nevěděl jsem přesně, o co jde. A taky jsem si nebyl jistý, jestli by to nezdržovalo turnaj. Nakonec jsme se s rozhodčím shodli, že atrakci budeme říkat americké Fischerovy šachy, ale uděláme jen takovou krátkou šachovou úlohu pro zpestření a zohledníme úspěšné řešitele tak, že jim v další partii přidáme půl hodiny času, jak to dovolují pravidla mezinárodní šachové federace FIDE.


Úloha č. 1

Mějme uvnitř nekonečné šachovnice vyznačenou část velikosti 8 \times 8 (je možno chodit mimo tuto standardní šachovnici). Úkolem je spočítat, kolika způsoby se může šachový kůň z jednoho rohu (např. políčka A1) dostat do protějšího rohu (z A1 to je H8) v méně než osmi tazích.


A se zíváním byl konec! V hracím sále bylo slyšet jen vzrušené funění usilovně přemýšlejících šachistů, občas radostné zahýkání úspěšného řešitele a jediným drobným organizačním defektem byl působivý epileptický záchvat velmistra Davida Almary, který zřejmě příliš usilovným hloubáním opět přetížil svou citlivou nervovou soustavu.

Zatímco si zdravotník turnaje léčitel Šašišanda fotil Almarovy odvážné epileptické kreace na podlaze a snažil se v nich rozpoznat ásany hatha jógy, v rohu hracího sálu velmi soustředěně zíral velmistr Flek na svůj poničený talismanový trojúhelník s pracně zaměřeným těžištěm. V poslední partii postupně nastavil věž, oba koně a nakonec i dámu a tuto materiálovou nevýhodu už nedohnal ani velmi vynalézavou kombinatorickou hrou. Těsně před partií mu totiž rozzuřený velmistr Klofáč tak jako mnohým dalším hráčům poničil trojúhelníkový talisman vylepšený o navlečený lightstickový kroužek. Bylo tedy patrné, že amulet bude třeba opravit. Na jednom vrcholu trojúhelníka už měl připravené uchycení kroužku, ale nevěděl, jak dál. Znal z dřívějšího měření těžiště trojúhelníka a bylo dokonce i vidět, kde byl střed ligthstickového kroužku, ale bylo třeba zrekonstruovat celý talisman.


Úloha č. 2

Mějme zadaný vrchol trojúhelníka, jeho těžiště a střed kružnice jemu opsané. Zkonstruujte tento trojúhelník.


A Robert Flek jako bývalý matfyzák na řešení samozřejmě přišel. S hrudí vypnutou sebevědomím pak obcházel hrací sál s roztočeným okroužkovaným trojúhelníkem a netrpělivě vyhlížel losování dalšího kola.

Robertovo sálající sebevědomí však zneklidnilo lehce podivínského rozhodčího. Takto sebevědomý Robert s opraveným talismanem by byl nebezpečným soupeřem pro hráče z rodiny Krauzů, kteří jsou VIP účastníky a nejvýznamnějšími sponzory. Například nejsilnější hráč z rodiny Krauzů, Václav, si v posledních dvou partiích velmi prostoduše naběhl na vidle, a tak by jeho osudová srážka s nyní nadupaným Flekem mohla snad i ohrozit financování příštího ročníku turnaje. Ne! Osud turnaje nelze ponechat napospas hloupé náhodě! Proto má přece rozhodčí připravený dostatečně komplikovaný trojitý losovací stroj, kterému nikdo nerozumí. Jde jenom o rychlost správně usměrněného losování. Věděl totiž, že když správným použitím následujících tří přístrojů přiřadí Flekovi číslo 15, nebude v dalším kole hrát se žádným Krauzem. Rozhodčí tedy řešil následující úlohu.


Úloha č. 3

Mějme tři přístroje, které pracují se štítky. Štítků máme neomezeně. První přístroj na vložený štítek napíše vždy jedničku, druhý číslo na štítku zdvojnásobí a třetí přijme štítky dva, vrátí nový štítek s jejich aritmetickým průměrem a oba dva původní v nezměněné podobě. Jak jejich pomocí získáme štítek s číslem 15?


Sotva se rozhodčímu podařilo nejrychlejším možným losováním zajistit sponzorům spolehlivě (tzv. jedlé) soupeře (například místo exmatfyzáka Fleka jiného exmatfyzáka a sice… zcela neškodného blickaře Viťase), už byl postaven před další problém: vzbouřily se seniorky, že tahat v rámci povinného doprovodného aerobního tréninku pneumatiky spolu s dědky je pro ně nevhodné, že je taková sportovní aktivita velmi nefeministická, že jsou diskriminovány a že dámy chtějí skákat panáka. A že chtějí panáka hezky připraveného moderního z mramorových dlaždic jako tehdy na turnaji v Bohnicích. Největší potíž byla ale v tom, že babičky byly rozděleny na dva tábory: jedna parta vedená mezinárodní mistryní Zkoulovanou navrhovala panáka ze čtyř čtverců, kde dva čtverce měly stranu x, jeden y a poslední \def\m{{\rm m}}1\m, zatímco babičky kolem velmistryně Rychtaříkové trvaly na jediném obdélníku o stranách 2xy+1. Rozhodčí rozhodl, že upřednostní návrh s menší plochou, protože mramorová dlažba je drahá jako prase a v turnajové pokladně je třeba přece jen něco nechat na cenový fond pro věčně hladové šachové profesionály. Rychtaříková zařvala: „Takže bude po našem!.“ A rozhodčí jí přikývl. Proč?


Úloha č. 4

Máme čtyři čtverce. Dva mají stranu x, jeden y a poslední 1. Potom máme obdélník se stranami 2xy+1. Dokažte, že obsah všech čtyř čtverců dohromady je větší než obsah obdélníku.


Zatímco se řešilo vhodné kolbiště pro doprovodný aerobní trénink šachových seniorek, extrémně introvertní hráč Tomáš Slovák v rohu hracího sálu dumal nad svým novým talismanem, který si právě koupil od šachového kramáře Nguyen Ping Ponga. Talisman z rýžového papíru měl tvar pravidelného čtyřstěnu sytě fialové barvy s fosforeskujícími oranžovými srdíčky. Jeho síla byla v tom, že jím bylo možné rotovat kolem několika os o méně než 360^{\circ} tak, aby se vrátil do původního tvaru. Opakovaná rotace kolem každé osy přitom paralyzovala vždycky jedno soupeřovo zahájení. Tomáš Slovák však při své okultní přípravě na partii potřeboval především zjistit, kolik soupeřových zahájení jeho nový talisman dokáže eliminovat, tj. kolem kolika os může rotovat o méně než 360^{\circ}, aby se vrátil do původního tvaru.


Úloha č. 5

Mějme pravidelný čtyřstěn (Obr. zad251 a Obr. zad252). Najděte všechny osy takové, aby pro každou platilo, že pokud kolem ní čtyřstěn otočíme o nějaký konkrétní úhel větší než 0 a menší než 360 stupňů, tak se čtyřstěn vrátí do původní polohy.


Hypnotizující zadumání introvertního hráče Slováka jakoby do hracího sálu vrátilo ospalou náladu. „Už zase zívají!.“ zahořekoval podivínský rozhodčí a prosebně vzhlédl k zdravotníkovi turnaje Šašišandovi: „Musíme hned něco podniknout!.“

A byl to čas opravdu nejvyšší, jelikož usínající velmistr Marek Klofáč právě ztěžka svým tučným obličejem upadl přímo do své rutinně rozehrané obrany Ben-Oni a dvojice pěšců na c5d5 mu takřka vypíchla oči. Šašišanda však nezklamal! Navrhl okamžitě vložit bleskový turnaj v trojšachu, v šachu pro tři hráče. A hned také navrhl vypsat mimořádnou cenu pro nejhezčí trojpartii: metrového marcipánového jezdce z cukrárny Aspartam. Podivínský rozhodčí jen vylekaně zalapal po dechu… přece cenu neponecháme náhodě – snad ne dokonce cizákům… „Klídek!.“ chlácholil ho Šašišanda, „máme v turnaji pět domácích hráčů, z nichž se každý zná alespoň se třemi dalšími – určitě mezi nimi musí být trojice, kde se zná každý s každým, tu trojici naše losovací mašina vylosuje, trojice se naučí nazpaměť miniaturku z knihy Perly trojšachu a cena bude doma!.“

„Určitě existuje ta trojice hráčů, kde zná každý každého?“ obával se rozhodčí.

„Určitě!.“ potvrdil Šašišanda. „A marcipánem se nacpeme my, domácí!.“ Měl Šašišanda pravdu?


Úloha č. 6

Mějme pět hráčů, kde každý z nich se zná s alespoň se třemi dalšími (když A zná B, tak i B zná A). Dokažte, že mezi nimi existuje trojice, kde se každý zná s každým.


Z turnaje jsou už tedy odehraná čtyři kola a hráči se připravují na kolo páté. Vedle talismanů však používají pro stupňování své turnajové výkonnosti až na samou hranici možností i jiné vědecké metody. Všestranně vzdělaný velmistr Štěpán Tepnička tradičně sází na numerologii a vědeckou publikaci „Aplikovaná numerologie pro turnajovou praxi“ nedá z ruky.

Nyní má však starosti. Pro exaktní výpočet soupeřových myšlenek v další partii potřebuje znát Ela (poznámka pro nešachisty, Elo je číslo, které má každý hráč svoje a souvisí s jeho výkonností) předchozích soupeřů, ale ta bohužel nemá k dispozici, protože poznámkový blok se záznamy kolísání svého krevního tlaku i Ela soupeřů v předchozích partiích patrně ztratil při poněkud divoké oslavě poslední triumfální remízy s Markem Klofáčem. Pamatuje si jenom, že hrál postupně s Rychtaříkovou, Slovákem, Marunou a nakonec s Klofáčem a že průměr jejich Ela byl 1850. V zoufalství se s prosbou obrátil na mystika Šašišandu, zda by se podíval do discokoule na věštění. Za chvíli už mu Šašišanda diktoval Ela předchozích soupeřů a Tepnička mohl ve své silně opotřebované knize dosazovat do dlouhých numerologických vzorců…


Úloha č. 7

Štěpán hrál v prvních čtyřech kolech s hráči r, s, mk v tomto pořadí a nepamatoval si jejich Ela, ale vzpomněl si, že jejich průměr byl 1850. Dále z poznámek zjistil, že hráč r má Elo o 600 nižší než hráč m, hráč m má Elo o 200 větší než hráč s a hráč k má o 400 menší Elo než hráč s. Jak vysoká Ela si u těchto hráčů poznamenal?


Doplňující otázky mimo soutěž: Jaká Ela mu Šišanda nadiktoval? S jakou pečlivostí a přesností si Štěpán poznamenával Ela soupeřů?