Zadání 4. série 33. ročníku

Termín odeslání: 19. února 2018

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Pořád jsem tomu nevěřila. Jak by s námi asi neviditelný pachatel mohl hrát hru? Musel by se ukázat, což zatím evidentně neměl v úmyslu. Nicméně jaké lepší vodítko pro nás mohlo existovat? Nezbylo nám než znovu poslechnout a vydat se do jídelny.

„Heuréka!.“ zaslechla jsem pištivý výkřik. Podívali jsme se s panem Kardlem na sebe. Co to bylo? Někdo to musel zakřičet ze směru, kterým jsme právě mířili.

Byl to trpaslík. Cože? Trpaslík? Opravdu! Na jídelním stole stálo pět malinkatých mužíčků s barevnými čepičkami.

„Co tu děláte?!.“ obořila jsem se na ně.


Úloha č. 1

Řekli mi, že hrají hru. V řadě stojí pět trpaslíků a každý má na hlavě červenou nebo modrou čepičku. Ví se, že čepic jedné barvy je o jednu více než čepic barvy druhé. Každý z nich se snaží uhodnout, jakou barvu má čepička na jeho hlavě.. Stojí za sebou a první nevidí nikoho, druhý vidí prvního, třetí první dva, čtvrtý první tři, ale pátý jen ty tři před sebou (nevidí prvního). Zjistí pokaždé alespoň jeden z nich, jakou má čepičku? Trpaslíci spolu nijak nekomunikují. Pokud kterýkoliv trpaslík zjistí barvu svojí čepice, vítězně zakřičí „heuréka“ a hra končí.


„Ne! Myslím, proč jste v mém domě!.“ nestačilo mi v žádném případě jejich vysvětlení.

„To je váš dům?“ divili se. „Nás sem pozvali. Prý se tu budou hrát nějaké hry!.“ ospravedlňovali se.

„My si s vámi zahrajeme,“ řekl pan Kardl se shovívavým úsměvem.

„Ale beze mě!.“ usmyslela jsem si. Nehodlala jsem podporovat přítomnost trpaslíků ve své kuchyni. Raději jsem se pustila do úklidu polic, který jsem měla v úmyslu ještě před tímhle šílenstvím.


Úloha č. 2

V regálu je deset spotřebičů. Vím, že dva nefungují, ale netuším, které to jsou. Proto jsem jich několik otestovala, než se mi podařilo oba dva objevit. Jaká je pravděpodobnost, že jsem musela otestovat více než osm výrobků?


Vyrušilo mě bušení na dveře.

„Dojdete tam? Zrovna nemůžu,“ zeptal se soused. Očividně se dobře bavil. Ostatně, i mně několikrát ujely koutky, když jsem poslouchala, jak trpaslíci švitoří. Ale sama jsem ke dveřím jít nechtěla. To v žádném případě!

„Radši bych sama neotevírala,“ přiznala jsem.

„Já vás doprovodím,“ nabídl se jeden z trpaslíků. Měl červenou čepičku.

„Však můžeme jít všichni, ne?“ navrhnul další červeňásek. Třeba se mi podaří je zamknout na vnější straně dveří, napadlo mě. Dala jsem panu Kardlovi klíče a poslala ho dopředu, obklopeného trpaslíky. Před domem stála podivná postava. Došlo mi, že mě nejspíš přišel navštívit sněžný muž.

„Omlouvám se za zpoždění,“ zahučel hlubokým hlasem. Od trpaslíků se musel lišit nejmíň o čtyři oktávy.


Úloha č. 3

Jeho saně tažené pěti psy první den ujížděly plnou rychlostí, ale v noci dva psi utekli se smečkou vlků, a tak pokračoval v cestě pouze s třemi psy. Proto sem dojel o dva dny později, než předpokládal. Ale kdyby všichni psi jeli spolu ještě 60 mil, zpozdil by se jen o jediný den. Jak daleko se nachází můj dům od jeho příbytku?


„Jak včas? Na co včas?“ nechápala jsem.

„Jsem tu správně, ne?“ odpověděl otázkou.

„Ano! Ano!.“ volali trpaslíci. Než jsem se nadála, vtáhli Yettiho dovnitř. Do jídelny. Odkud jsme zrovna přišli. Soused se k nim ochotně připojil. Připadala jsem si jak Alenka v říši divů. Měla jsem pocit, že mnohem víc by se mi zamlouvalo, kdyby za záhadami stáli obyčejní zloději.

„Nemám vám nabídnout co k jídlu,“ starala jsem se.

„To nevadí,“ smáli se trpaslíci „my ani nepočítali s tím, že tu někdo bude.“

„Cože?“ nechápala jsem už vůbec.

„Mysleli lidi,“ dodal sněžný muž, jako by tím něco vysvětloval.

„Opravdu nechápu, proč tu jste,“ pokusila jsem se o přísný tón.

„Pojďte si zahrát piškvorky, ať si zkrátíme čekání,“ navrhovali trpaslíci.

„Čekání na co?“ vyděsila jsem se.

„Na ostatní přeci,“ poučili mě.


Úloha č. 4

Mějme piškvorky na nekonečné ploše, kde ale první z hráčů může v každém tahu udělat svůj symbol na dvou políčkách, zatímco druhý vždy jen na jednom. Může první hráč vyhrát, pokud oba hráči k výhře potřebují (v řadě) deset symbolů, začíná druhý hráč a jeho tahy jsou jakékoliv?


Hráli a nechali mě samotnou s milionem otázek. Kdo jsou? Proč přišli? Na co čekají? Jací ostatní? Netroufala jsem si je přerušit. Pan Kardl se automaticky přidával k nim, já byla páté kolo u vozu. Zdálo se, že mi něco uniká. Že mi asi někdo neřekl něco, co mi říct měl. A těch neznámých v jedné rovnici bylo už nějak moc. Pohlédla jsem z okna a všimla si, že už se setmělo. Vysvobození!

„Půjdu spát,“ oznámila jsem společnosti.

„Cože? Ne! Vždyť teď teprve mají všichni přijít!.“ oslovil mě tentokrát soused.

„Kdo všichni?“ položila jsem jednu ze svých nezodpovězených otázek.

„Co já vím, tak minimálně hejkal, Drákula a vlkodlak,“ odpověděl nadšeně. To nemyslí vážně! To nemůže myslet vážně! Čekala jsem, až podá uspokojivější vysvětlení. Neučinil tak.

„Chtělo by to tu více barvy,“ stěžoval si jemný ženský hlas. Otočila jsem se za ním. Ve dveřích do obýváku stála bílá paní. „Přemýšlela jste o vitráži do okna? Co třeba geometrické obrazce?“


Úloha č. 5

Narýsujte trojúhelník ABC, kde \def\cm{\,{\rm cm}}|AB|=8\cm, |AC|=12\cm|BC|=13\cm, a vepište mu čtverec tak, aby jedna jeho strana ležela na straně AB a zbylé dva vrcholy ležely na stranách AC, BC. Konstrukci zapište.


„Ne, nepřemýšlela,“ hlesla jsem. Tohle byl zlý sen a já se z něj chtěla okamžitě probudit!

„Ó, zdravím,“ otočila se náhle bílá paní na trpaslíky „Kde máte Sněhurku?“

„Šmudla a Kejchal se nachladili, tak s nimi zůstala doma,“ odpověděli trpaslíci. Nenamáhala jsem se rozlišovat, který je který.

„Škoda,“ zalitovala bílá paní. „Jak jsme tedy na tom? Už jsou tu všichni?“ zajímala se dál.

„Co já vím, zatím jen my,“ podíval se na mě Yetti, abych mu domněnku potvrdila.

„Ano,“ odsouhlasila jsem. Došlo mi, že ať se tu má konat cokoliv, nezabráním tomu. Ticho, které trvalo sotva sekundu, protnul výkřik, který drásal uši.

„Á, hejkal je tady,“ tvářil se pan Kardl, jako by mu to dělalo radost. Vzápětí jsem musela jít opět otevírat dveře.

„Tohle muselo vzbudit celou ves,“ vyčetla jsem příchozímu.

„Omlouvám se, pořídil jsem si nový reprák a ještě to neumím ovládat,“ vysvětloval.

„To je on?“ ukazoval sněžný muž na krabičku v jeho podpaždí.

„Jo, chceš se podívat?“ nabízel hejkal. Během okamžiku skončil reproduktor rozdrcený nemotornými prsty Yettiho. Vydržely jen tři kovové tyčky.


Úloha č. 6

Mějme kvádr, jehož tři stěnové úhlopříčky mají délky 10, 17, a 3\cdot\sqrt{29}. Určete objem tohoto kvádru.


„Teď už chybí z hostů jen Dracula?“ zeptal se jeden z trpaslíků.

„Myslím, že jo,“ souhlasil hejkal.

„A co ten vlkodlak?“ staral se pan Kardl. No, co se mě týče, klidně bych se bez něj obešla.

„Ten přijde s ním, je to jeho mazlíček,“ vysvětlovala pohrdavě bílá paní. Myslím, že sdílela můj názor.

„Někdo vám volá,“ tvrdil hejkal. Nic jsem neslyšela, ale radši jsem se šla podívat do haly, kde jsem nechala kabelku. Opravdu! Zvonil mi mobil, tak jsem ho rychle zvedla.

Volající se představil jako Dracula. Prý si koupil novou cestovní rakev, ale nevěděl si rady s jejím sestavením, takže nemohl zatím přijít. Chlubil se, že v ní mají s vlkodlakem oddělené pokoje.


Úloha č. 7

Mějme krychli o objemu \def\dm{\,{\rm dm}}1000 \dm^3, na jejím dně (spodní podstavě) leží čtyřstěn, který má s původní krychlí společnou jednu hranu a stěna tohoto čtyřstěnu je celá uvnitř stěny původní krychle. Jak daleko je horní vrchol čtyřstěnu vzdálen od horní podstavy krychle?


Přestože vysvětlování bylo po telefonu trošku složitější, konečně Dracula oznámil, že se mu sestavení podařilo. Za pár chvil začaly ve sklepě řinčet sklenice a já věděla, že poslední pozvaný dorazil.