Zadání 3. série 30. ročníku

Termín odeslání: 12. ledna 2015

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Plynuly dny a roky a chaloupka pod Janovýma rukama jen vzkvétala. Jan byl velmi učenlivý a pilný, takže rychle zvládl zastat všechny potřebné práce. Rostl a sílil. Začal chodit s dalšími muži z vesnice do lesa na dříví a učit se, jak stromy kácet, odvětvovat a pak s koňmi stahovat. Tam také brzy poznal, že měřit stromy není jen tak.

Úloha č. 1

Chtěl změřit průměr kmene smrku, který měl dokonale kruhový průřez. Vzal proto pevný metr se stupnicí v centimetrech a značkou \def\cm{\,{\rm cm}}50 \cm ho přiložil přímo ke kůře. Když se pak jedním okem díval ze vzdálenosti 60 \cm na metr, okraj smrku se mu vlevo překrýval se značkou pro 25 \cm a vpravo pro 75 \cm. Jaký je skutečný průměr kmene?

Ale nejen Jan mužněl a dospíval. Jeho malá sestra Markéta rostla jako z vody. Rychle se učila být samostatná a nejen to, začala i pomáhat s hospodařením, tedy aspoň s tím, na co stačila. Starala se o slepice, a když Jan zvětšil chlívek a postavil ohradu, aby mohl pořídit dvě ovce a berana, starala se i o ně.

Úloha č. 2

Ohrada měla tvar trojúhelníku, nazvěme si ho ABC. Víme, že délka těžnice \def\m{\,{\rm m} } t_{a} = 10 \m, výška v_{c} = 8{,}4 \m a kružnice opsaná trojúhelníku AS_{a}C, kde S_{a} je střed strany a, měla poloměr 3 {\bf 6} \m. Narýsujte tuto ohradu v měřítku 1\mathbin{:} 20 {\bf 100}.

Díky Janově snaze se tak hospodářství kolem chaloupky postupně rozrůstalo a on se pomaličku stával váženým spoluobčanem. Čas od času zašel také do hospody, vždy hlavně probrat, co se kde odehrálo a tak podobně.

Jednou, bylo krátce po žních, sešli se skoro všichni v hospodě. Jan seděl u stolu v koutě, poslouchal řeči ostatních o tom, proč asi byla letošní úroda horší než ta minulá, a při tom baštil bramborové placky, které dnes hospodskému pomáhala připravovat i jeho žena.

Úloha č. 3

Jednu kulatou placku o průměru 12 \cm vzal a roztrhl ji rovně na půlky. Jednu půlku složil do kornoutu tak, že okraje přiložil těsně k sobě. Tento kornout otočil podstavou dolů a chtěl jím přikrýt kuličku másla o průměru 4 \cm ležící na stole. Povede se mu ji celou schovat pod kornout?

Náhle vešel dovnitř cizí muž. Jan si byl jistý, že ho nikdy předtím neviděl, někteří lidé ho ale přátelsky pozdravili a on se usadil ke stolu přímo doprostřed hospody a objednal si pivo a pár placek. Jak Jan za chvíli zjistil, muž byl provazník ze vsi za kopcem. Všichni začali utichat, když se pustil svým zvučným hlasem do vypravování, jen co před ním stanul orosený tuplák.

„Představte si, co se stalo předevčírem. Sedlák Krejsa, no, někdo ho možná i znáte, vyjel ráno s koňma do lesa na dříví. Na tom by nebylo nic divnýho, že, to vono je to potřeba, zima už je skoro za dveřma. Jenže von se z lesa nevrátil. Před obědem přiběhli domů koně v postrojích. To starou Krejsovou samozřejmě hrozně polekalo, tak hned běžela pro pomoc k sousedům, že se stalo určitě něco špatnýho. Nejdřív jim dalo fůru práce, než uklidnili koně, jak byli poplašený, a pak se vydali do lesa. Krejsová brečela, že ho asi zavalil strom, že mu pořád říkala, ať si hlavně dává pozor, a on ji jen odbýval. Ale jak šli lesem, narazili na jeho vůz. A o kousek dál visela na stromě jeho košile, ale co bylo divný, že vedle byla pila zařízlá ve stromě tak skoro do půlky. A Krejsa samozřejmě nikde. Hledali ho všude možně po lese, čekali, až se vrátí, ale nic. To vám povidám, tam se muselo stát něco po čertech divnýho. No neřikejte mi, že by tam nechal jen tak naříznutej strom, pilu ještě v něm a sám by odešel bůhvíkam. Podle mě ho tam někdo přepad. Ale nemohli to bejt nějaký lapkové, to by tam přece nenechali takový dva krásný koně, vůz a nářadí. Vždyť vlastně zmizel jen von. Já vám povidám, jeho museli unýst tajný.“

„Ale prosím tě, Václave, nezačínej zase tyhle svoje řeči o nějakých spiknutích a tajné policii,“ obořil se na něj starosta, „všichni tu víme, že se občas rád napiješ a pak tě napadají takové bláznoviny.“

„Houby s voctem, bláznoviny, vyprávěli mi o nich, když jsem jednou byl v  Hradci,“ odsekl a praštil pěstí do stolu, až ozdůbka stojící uprostřed stolu poskočila a rozpadla se.

Úloha č. 4

Ozdůbka na stole se skládala ze čtyř papírových rovnostranných trojúhelníků a každý z nich byl z každé strany obarven jinou barvou. Jana hned napadlo, že by se z nich dal složit čtyřstěn. Pak se ale zamyslel víc. Kolik různě barevných čtyřstěnů lze z těchto trojúhelníků složit? (Dva čtyřstěny jsou stejně barevné tehdy, když je lze natočit tak, že odpovídající si stěny mají stejné barvy.)

Celou noc se Janovi hlavou honily divoké sny. Zdálo se mu, že kácí v lese dříví. Náhle koně začali ržát a podupávat. Otočil se a uviděl z houští vyskočit černovlasého vousatého muže v černé uniformě. Pustil pilu a chtěl utéct, ale nohy jako by mu přirostly do země. Chtěl alespoň křičet, ale jako by úplně ztratil hlas. Na poslední chvíli se s vypětím všech sil rozeběhl. Běží po lese a cítí, že podivín je mu těsně v patách. Kličkuje, volí si cestu přes pařezy i rýhy, ale pronásledovatel je pořád za ním. Náhle mu cosi podrazí nohy a on padá do jámy. Zvedá se obličejem ze země, úlekem vykřikne. Kolem něj se to hemží hady, krysami a pavouky. V tu chvíli se naštěstí z děsivého snu probudil.

Úloha č. 5

Ještě než se Jan ze snu probudil, stihl v jámě plné hadů, krys a pavouků napočítat 23 hlav a 104 nohou. A k tomu si všiml, že hadi a pavouci mají průměrně 4{,}8 nohy. Kolik na něj čekalo v jámě pavouků a kolik krys?

Bodejť by se ráno Jan necítil jako zmlácený, po takové noci. Donutil se ale vstát a rychle spěchal za farářem. Ten seděl ve své pracovně na faře a vybíral si z očíslovaného zpěvníku písně na příští bohoslužbu. Zrovna se zadíval, jaká zvláštní čísla si na papír vypsal, když se zaklepáním vstoupil Jan.

Úloha č. 6

Všechna čísla, která si farář vypsal, byla dvouciferná a měla zvláštní vlastnost. Když kterýmkoli z nich vydělil číslo 789, dostal zbytek 9, a když vydělil 978, dostal zbytek 3. Kolik takových dvouciferných čísel existuje?

„Pochválen buď Ježíš Kristus, Jane,“ pozdravil jej farář.

„Až na věky,“ odpověděl Jan. „Otče, včera jsem zaslechl zvláštní vyprávění o tom, jak před pár dny zmizel jeden sedlák ze sousední vesnice. A pak ještě ten provazník poznamenal cosi o tajné policii. Všichni ho sice rázně umlčeli, ale mně to od té chvíle začalo vrtat hlavou. Co když má pravdu?“

„Synu, je možné, že má pravdu víc, než by si většina zdejších byla ochotna připustit. Jsou to sice jen různé zkazky, ale podobné řeči jsem slyšel už za mlada v semináři, když tehdy zmizel znenadání můj skvělý přítel, asi jsem ti tu příhodu již vyprávěl.“

„Ano, vyprávěl,“ přitakal Jan, „ale povídejte, co ještě jste slyšel?“

„Cožpak o to, co jsem slyšel. Lidé povídají různé věci a na některých není ani zbla pravdy, ovšem co člověk vidí a prožije sám, to je to jediné, čemu doopravdy může věřit. A jisté je, že tvoji rodiče nebyli tak úplně obyčejní venkované. Pamatuji si, když se sem do hor přistěhovali. Oba vypadali tak elegantně, zkrátka jako lidé z velkého města. Usadili se v chaloupce u lesa a krátce nato ses jim narodil ty.“

„To je zvláštní, o tom mi nikdy nevyprávěli. A nevíte, co je vedlo k tomu, aby se přistěhovali do tohoto nehostinného kraje?“

„Právě to mi také vrtalo hlavou. Když jsem se jich na to ptal, odpovídali strašlivě neurčitě, pořád od toho tématu uhýbali. Vypadalo to, jako by se chtěli od veškeré své minulosti úplně odříznout. Jednou se dokonce, neměl bych to sice jako zpovědní tajemství říkat, ale snad mi bude odpuštěno, tvá matka při zpovědi trochu prořekla, že se tu snad snaží před někým ukrýt. Tehdy jsem si to vůbec do žádné souvislosti nedával a jen jsem seznal, že bude jistější, když o tom nebude nikdo vědět. Ani já.“

Jan celé farářovo vyprávění poslouchal a ještě chvíli poté, co farář domluvil, jen zaraženě stál. Teprve pak se zmohl na slova díků. Vyšel z fary ven a zamířil zpátky domů. Celou cestu přemýšlel o tom, co by asi jeho rodiče mohli tajit a proč on se nikdy nedozvěděl ani to, že vlastně nepochází tak úplně z téhle vesničky.

Doma hned začal prohledávat starou almaru na půdě doufaje, že se v ní dozví něco o předchozím životě svých rodičů. Vše ale vypadalo beznadějně až do chvíle, než otevřel truhlici ve světnici. Tam narazil na šátek, který v ten osudný den jeho maminka ztratila na louce. Vytáhl ho z truhly ven a chtěl si k němu přivonět. Uprostřed pohybu se náhle zastavil a zadíval na jeden z cípů šátku. Teprve teď si všiml, že i v tomto cípu je na šátku výšivka.

Úloha č. 7

Výšivka má tvar kytičky jako na obrázku zad371 a skládá se ze samých částí kružnic o poloměru 1 \cm. Jaký je její obsah?

To je zvláštní, že si jich za celé dětství nikdy nevšiml. Teprve teď si celý šátek začal prohlížet detailně. Kromě oněch dvou výšivek, z nichž jedné si všiml už dávno, ale té druhé až teď, nalezl na šátku spousty dalších drobností. Jako by snad ten šátek nesl nějaké sdělení. Co když jej maminka neupustila na louce náhodou, napadlo Jana teprve teď.