Zadání 6. série 29. ročníku

Termín odeslání: 12. května 2014

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Jako poslední vyprávěl Marek. „To mně se zdál zajímavý sen, když jsme byli s rodiči na dovolené u moře. Usínal jsem za zvuku šumícího moře, takže není divu, že sen se odehrává pod vodou. Začalo to opravdu hezky, byl jsem přivázaný k jakési krychli porostlé řasami.“

Úloha č. 1

Marek byl na krychli o hraně 20 m a provazem dlouhým 20\sqrt{2} m byl přivázaný k vrcholu krychle. Snažil se najít něco, čím by provaz přeřízl, a tak chodil všude, kam mu to provaz dovolil, a tím z krychle sundával řasy. Jak vypadá a jak velká je část povrchu krychle, kterou Marek takto očistí? Krychle se vznáší ve vodě a Marek je tak v pohybu po jejích stěnách omezen jen délkou provazu.

„Po chvíli jsem se pokusil provaz rozvázat a k mému překvapení to šlo. Seskočil jsem tedy z krychle a jal jsem se prozkoumávat ten podvodní svět. Brzy jsem dorazil k jakési hospodě a uvědomil jsem si, že mám vlastně docela hlad. Šel jsem tedy dovnitř, a když jsem si vybíral jídlo, všiml jsem si dvou mořských panáků, jak věší obrazy docela zvláštním způsobem.“

Úloha č. 2

Pojmenujme si tyto dva mořské panáky Adrian a Alan. Jako první věšel obraz Adrian. Nepověsil ho však na jeden hřebík, ale omotal ho kolem dvou hřebíků, které byly vodorovně vedle sebe přibité na stěně, s tím, že když prý Alan vytáhne levý hřebík, obraz na pravém zůstane viset, ovšem když vytáhne pravý, obraz spadne na zem, ačkoli se provázek předtím levého hřebíku určitě dotýkal. Alan se však Adrianovi vysmál, že to zná a provázek kolem hřebíků omotal tak, že na nich visel, ale když Adrian libovolný z nich vytáhnul, obraz spadl. Řekněte a načrtněte, jak obraz pověsil Adrian a jak Alan.

„Rozhodl jsem se, že než si s nimi půjdu promluvit, zbavím se hladu. Jelikož jsem jídelnímu lístku nerozuměl, objednal jsem si všechno a doufal jsem, že alespoň něco bude poživatelné. Po chvíli mi přinesli snad všechny druhy chaluh, škeblí a nevím čeho všeho ještě. Než jsem se odhodlal k tomu něco sníst, setmělo se, a když jsem konečně dojedl, byla už úplná tma. To mi ale vůbec nevadilo a vydal jsem se za již zmíněnými mořskými panáky. Nabídl jsem jim, že bychom si mohli zahrát jednu pěknou kreslící matematickou hru.“

Úloha č. 3

Úkolem hry bylo nakreslit pěti úsečkami pěticípou hvězdu s co největším součtem velikostí úhlů u vrcholů. Vyhrál ten, který nakreslil hvězdu, jejímiž vrcholy lze proložit kružnici, anebo ten, který nakreslil hvězdu nepravidelnou?

„Oni se na mě však vyděšeně podívali a utekli. Ptal jsem se hostinského, co se stalo, a on mi vysvětlil, že v jejich říši se po setmění nesmí řešit žádná matematika. A taky se nesmí zpívat veselé písničky. Nedokázal mi ale vysvětlit proč. Radši mi dal účet s doopravdy dlouhým číslem.“

Úloha č. 4

Na účtence bylo nejmenší možné číslo složené pouze z číslic 1, 2, 3 a 4, které ve svém desítkovém zápisu obsahuje všechna dvojciferná čísla, která lze z těchto číslic vytvořit. Např. 1234 obsahuje 12, 23 a 34, ale už ne třeba 32. Jaké to bylo číslo?

„Až v tu chvíli jsem si uvědomil, že vlastně nemám vůbec žádné peníze. To ale hostinského tak rozlítilo, že okamžitě zavolal palácové stráže. Ti mě okamžitě odvedli k Poseidonovi, vševědoucímu vládci všech moří. Ten se na mě podíval a zahřměl: Člověče bídný, jsi vetřelec a ještě porušuješ zákony naší říše! Za trest budeš muset po tři dny a tři noci počítat příklady. Nespočteš-li alespoň tři, už nikdy se neprobudíš a zůstaneš v našem podvodním vězení až do konce svých dní! Do žaláře s ním! A dobře se vyspi, zítra začínáš počítat. Co jsem měl dělat, musel jsem čekat do dalšího dne a doufat, že to zvládnu spočítat. Druhý den jsem dostal zadání oněch příkladů. Vybral jsem si tedy tři, u kterých mě ihned po přečtení napadl postup, a dal jsem se do řešení. První příklad byl o Mikuláši s čertem. Zvláštní, že existují i pod vodou, že?“

Úloha č. 5

Mikuláš s čertem si připravovali dva druhy balíčků pro děti ve vesnici. Zlobivým dětem zabalili balíček se čtyřmi sladkostmi, hodným dali sladkostí do balíčku víc. Po nadílce vše spočítali a zjistili, že 40 dětí dostalo dohromady 329 sladkostí. Dvě malé mořské panny, Alča a Anča, celý rok nezlobily. Kolik dostala každá sladkostí?

„Byl to nejjednodušší ze zvolených příkladů a měl jsem jej tedy hotový za chviličku. Rozhodl jsem se, že si dám na chvíli pauzu, a pozoroval jsem z okna, jak běží život pod vodou. Srovnával jsem to se životem na souši, a když mě to po pár hodinách přestalo bavit, spočítal jsem si i druhý příklad. Ten jsem si vybral i proto, abych zalichotil Poseidonovi.“

Úloha č. 6

Letos lze Poseidonův věk vyjádřit jako součin dvou prvočísel, příští rok to bude součin prvočísla a třetí mocniny jiného prvočísla a loni šel jeho věk zapsat jako součin složeného čísla a druhé mocniny prvočísla. Přestože Poseidon není jen tak někdo, určitě mu není více než 120 let. Kolik je Poseidonovi letos let?

„Pak už přišla noc a já jsem se rozhodl, že se vyspím na další příklad. Ráno jsem si řekl, že na ten poslední mám vlastně ještě dva dny, a že si dám tedy dlouhý oddych. Dokonce se mi podařilo přemluvit stráže, aby se se mnou šly projít, a tak jsem mohl pozorovat podvodní den v celé jeho kráse. Když jsem si prohlédl, co jsem mohl, a byl jsem zpátky v cele, začal jsem počítat třetí a poslední příklad.“

Úloha č. 7

Jeden ze strážců podvodního vězení si otevřel plechovku s plátky ananasů. Každý plátek je kruhový a uprostřed má kruhovou díru, kterou vyřízli při kompotování. Než si jeden plátek nakrájel, všiml si, že nejdelší rovný řez, jaký může udělat, aniž by procházel dírou uprostřed, měří při pohledu shora přesně 10 cm. Jaký má plátek objem, pokud je tlustý 1 cm?

„Ale ať jsem zkoušel, co jsem zkoušel, pořád mi to nechtělo vyjít. Počítal jsem celý zbytek druhého dne. Celou noc. Celý třetí den. V průběhu třetí noci už jsem nezvládl neusnout, takže mě vzbudily až ráno stráže. Už mě vedly k Poseidonovi a já stále neměl spočtený třetí příklad. Už to vypadalo, že tam zůstanu navěky. Poseidon už se nadechoval, že vyřkne můj ortel doživotního vězení, když tu přišla spásná myšlenka. Počkat, už to mám, vykřikl jsem a rychle jsem to začal sepisovat. A bylo to správně! V poslední vteřině sis zachránil život, řekl Poseidon a dal mi nápoj, po kterém jsem se probudil zpátky ve své posteli.“